Enunciado

Encontre a primeira derivadas parciais da função.

f ( x , y ) = x^y

Passo 1

Para determinar derivadas parciais é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e trata-las como valores constantes. É importante destacar que quando um termo só está em função de uma variável e estamos derivando em relação à outra, ou seja, consideramos esta constante, a sua derivada é igual a zero.

Passo 2

Seja a função

f ( x , y ) = x^y

Fixando y e derivando em relação a x , temos:

f_x = y x^(y - 1)

Passo 3

Fixando x e derivando em relação a y , é necessário utilizar a ferramente de

e^(ln f ( x , y )) = f (x , y)

Assim, temos

f (x , y) = e^(ln x^y) = e^(y ln x)

Agora sim podemos derivar em relação a y , fixando o valor de x .

Mas note que também precisaremos utilizar a regra da cadeia:

f_y = e^(y ln x) ln x

Como e^(y ln x) = x^y , a resposta ideal da questão podem ser dadas como

f_y = x^y ln x

Resposta

f_x = y x^(y - 1)

f_y = x^y ln x

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