Enunciado

Encontre a primeira e a segunda derivadas da função:

G r = r + r 3

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a primeira e a segunda derivadas de G em relação a r .

Repare que nós temos a soma de duas raízes e nós podemos escrever elas como a soma de potências equivalente, na forma:

G r = r 1 2 + r 1 3

Assim, fica mais claro na hora da gente derivar, aplicando a regrinha da potência na derivação, lembra dela? Olha ela aqui:

d d x x n = n ∙ x n - 1

Onde n é um número real. Então, basta a gente aplicar isso à nossa função duas vezes, para obter G ' ( r ) e G ' ' ( r ) .

Vamos lá! 😊

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada da função:

G ' r = r 1 2       ' + r 1 3   '  

Usando a regrinha da potência, temos:

G ' r = 1 2   r 1 2   - 1   +   1 3   r 1 3   - 1  

G ' r = 1 2   r - 1 2 +   1 3   r - 2 3

Encontramos a primeira derivada.

Bora continuar! 😉

Passo 3

Agora vamos encontrar a segunda derivada, derivando novamente a primeira. Assim:

G ' ' r = 1 2   r - 1 2 ' + 1 3   r - 2 3 '

Usando novamente a regrinha da potência, temos:

G ' ' r =   1 2 - 1 2 r - 1 2   - 1 +   1 3 - 2 3 r - 2 3   - 1

Resolvendo os expoentes e os produtos:

G ' ' r = - 1 4   r - 3 2 -   2 9   r - 5 3

E encontramos nossa segunda derivada.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

G ' r = 1 2   r - 1 2 +   1 3   r - 2 3

G ' ' r = - 1 4   r - 3 2 -   2 9   r - 5 3

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