Enunciado

Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.

y = e α x sen ⁡ β x

Passo 1

Primeiro vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = e α x

e

g x = sen ⁡ β x

Passo 2

Agora temos que usar a regra da função exponencial e da multiplicação por constante:

e f x ' = e f x . f ' ( x ) e k f x ' = k f ' ( x )

Assim:

f ' x = e α x ' = e α x . α x ' = e α x . α x 1 - 1 = e α x . α x 0 = e α x . α . 1 = α e α x

Passo 3

Já para calcular g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica, da multiplicação por constante e da cadeia:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

k f x ' = k f ' ( x )

Assim temos:

g x ' = sen ⁡ β x ' = cos ⁡ β x . β x ' = cos ⁡ β x . β x 1 - 1 = cos ⁡ β x . β x 0 = cos ⁡ β x . β . 1 = β . cos ⁡ β x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = f ' ( x ) g x + g ' ( x ) f x = α e α x . sen ⁡ β x + β . cos ⁡ β x . e α x = e α x α sen ⁡ β x + β . cos ⁡ β x

Passo 5

Agora vamos calcular a segunda derivada, vamos usar a regra da cadeia junto com a da função exponencial além da regra do produto:

y ' ' = e α x α sen ⁡ β x + β . cos ⁡ β x '

Vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = e α x

e

g x = α sen ⁡ β x + β . cos ⁡ β x

Passo 6

Com f ' ( x ) usamos a regra da função exponencial:

e f x ' = e f x . f ' ( x )

Assim:

f ' x = e α x ' = e α x . α x ' = e α x . α x 1 - 1 = e α x . α x 0 = e α x . α . 1 = α e α x

Passo 7

Já para calculamos g ' x vamos usar a regra da soma e das funções trigonométricas:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Assim:

g ' ( x ) = α sen ⁡ β x + β . cos ⁡ β x ' = α sen ⁡ β x ' + β . cos ⁡ β x ' = α cos ⁡ β x β x ' + β - sen ⁡ β x β x ' = α cos ⁡ β x β x 1 - 1 + β - sen ⁡ β x β x 1 - 1 = α βcos ⁡ β x - β 2 sen ⁡ β x

Passo 8

Agora é só substituir na expressão:

y ' ' = e α x α sen ⁡ β x + β . cos ⁡ β x ' = f x ' g x + g x ' f x = α e α x . α sen ⁡ β x + β . cos ⁡ β x + α βcos ⁡ β x - β 2 sen ⁡ β x . e α x = e α x α ² sen ⁡ β x - β 2 sen ⁡ β x + 2 α βcos ⁡ β x

Resposta

y ' = e α x α sen ⁡ β x + β . cos ⁡ β x

y ' ' = e α x α ² sen ⁡ β x - β 2 sen ⁡ β x + 2 α βcos ⁡ β x

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Derive. y = x e 3 x
Derive. y = t 3 e - 3 t
Derive. f x = e - x 2 + ln ⁡ 2 x + 1
Seja f : R → R derivável e seja g t = f t 2 + 1 . Supondo f ' 2 = 5 , calcule g ' 1 .
Derive. y = e - x sen ⁡ x