Enunciado

Encontre f :

f^(' ') (x) = 2 x + 3 e^x

Passo 1

Opa, vamos lá achar f , sabendo que:

f^(' ') (x) = 2 x + 3 e^x

Para calcularmos f precisamos primeiro achar a primitiva geral de f^(' ') ( x ) que será f^' ( x ) , depois achamos a primitiva de f^' ( x ) que será nosso f ( x ) . Mãos a massa?!

Passo 2

Vamos então agora calcular, para achar a antiderivada temos que a antiderivada da função geral x^n com n != 1 , de c f (x) , de uma constante e de e^x são da forma:

c F (x) -> c ((x^(n + 1))/(n + 1))

E:

c x -> c e^x

Agora é só aplicar:

f^' (x) = 2 ((x^(1 + 1))/(1 + 1)) + 3 e^x + C = (4 x^2)/(2) + 3 e^x + C

f^' ( x ) = x^2 + 3 e^x + C

Mais uma vez, dessa vez aplicando em f^' (x) , usando as fórmulas de antiderivada que vimos acima:

f (x) = ((x^(2 + 1))/(2 + 1)) + 3 e^x + C x + C_2

f (x) = (x^3)/(3) + 3 e^x + C x + C_2

Pronto, achamos f !

Resposta

f (x) = (x^3)/(3) + 3 e^x + C x + C_2

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