Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte série:

∑ n = 1 ∞ n 8 n x + 6 n    

Como temos que:

a n = n 8 n x + 6 n

Então, pelo teste da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 x + 6 n + 1 8 n + 1 . 8 n n x + 6 n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n . x + 6 8  

= lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n . x + 6 8 = x + 6 8

Passo 2

Sendo assim, pelo teste da razão, a série converge quando:

x + 6 8 < 1 → x + 6 < 8

Dessa forma, temos:

- 8 < x + 6 < 8 → - 14 < x < 2

E o raio de convergência é dado por:

R = 2 - ( - 14 ) 2 = 8

Passo 3

Agora, testando os extremos da condição encontrada no passo 2, temos para x = 2 , pelo teste da divergência:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n = ∞ > 0

A série diverge para x = 2 pelo teste da divergência. Agora, da mesma forma, para x = - 14 :

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n = ∞

A série também diverge. Logo, o intervalo de convergência será de:

I = ( - 14,2 )

Resposta

I = ( - 14,2 )

R = 8

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