Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte série:

∑ n = 1 ∞ 2 x - 1 n 5 n n    

Como temos que:

a n = 2 x - 1 n 5 n n

Então, pelo teste da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 x - 1 n + 1 5 n + 1 n + 1 . 5 n n 2 x - 1 n = lim n → ∞ ⁡ 2 x - 1 5 n n + 1

Agora dividindo o termo dentro da raiz por n / n

= lim n → ∞ ⁡ 2 x - 1 5 1 1 + 1 / n = 2 x - 1 5

Passo 2

Sendo assim, pelo teste da razão, a série converge quando:

2 x - 1 5 < 1 → 2 x - 1 < 5

Dessa forma, temos:

- 5 < 2 x - 1 < 5 → - 2 < x < 3

E o raio de convergência é:

R = 3 - ( - 2 ) 2 = 5 2

Passo 3

Agora, testando os extremos da condição encontrada no passo 2, temos para x = 3 :

∑ n = 1 ∞ 1 n

Que é uma p-série com p = 1 / 2 , logo, a série é divergente. Agora, da mesma forma, para x = - 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Que converge pelo teste da série alternada, sendo assim, o intervalo de convergência é:

I = [ - 2,3 )

Resposta

I = [ - 2,3 )

R = 5 2

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