Enunciado

Se g x ,   y ,   z = 1 + x z + 1 - x y , determine g x y z . Dica: use uma ordem de diferenciação diferente para cada termo.

Passo 1

Então pessoal, em essência, apenas decodificando a notação utilizada pelo enunciado, temos que encontrar:

g x y z = ∂ ³ g ∂ z ∂ y ∂ x

Como a função g é composta de uma soma de funções, então podemos utilizar uma das principais propriedades da derivação que nos diz que a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas. Sendo assim, podemos fazer:

g x ,   y ,   z = f x ,   y ,   z + h ( x ,   y ,   z )

No entanto, assim como o enunciado nos indica, essa não é uma ordem muito interessante para se derivar. Mas po, tem como trocar a ordem sem alterar o resultado dessa forma? Pelo Teorema de Clairaut, assim como discutido na seção 14.3 do Stewart, temos que se duas funções forem contínuas, então:

f x y = f y x

E isso pode ser estendido para três variáveis também, como é o nosso caso. Aqui vale ressaltar também que começamos a derivar da direita para a esquerda na notação que escrevemos ali em cima, beleza?

Passo 2

Uma ordem interessante para derivarmos f é começarmos derivando-a em função de y logo de cara, porque assim já teremos praticamente o resultado da nossa derivada, saca só:

f y x z = ∂ ³ f ∂ z ∂ x ∂ y

∂ f ∂ y = 1 + x z = 0

∂ ² f ∂ x ∂ y = 0

∂ ³ f ∂ z ∂ x ∂ y = 0

Já para h , uma ordem interessante para derivarmos é começando derivar em função de z , pelo mesmo motivo da função f , logo:

h z x y = ∂ 3 h ∂ y ∂ x ∂ z

∂ h ∂ z = 0

∂ 2 h ∂ x ∂ z = 0

∂ ³ f ∂ z ∂ x ∂ y = 0

Passo 3

Sendo assim, como escrevemos no passo 1, temos:

g x ,   y ,   z = f x ,   y ,   z + h ( x ,   y ,   z )

Em termos de derivada e pelo teorema supracitado:

g x y z = f y x z + h z x y

g x y z = 0 + 0

∴ g x y z = 0

Resposta

g x y z = 0

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