Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

f x = x 9 + x 2

Passo 1

A ideia por trás da mudança para uma série de potências é comparar com a função abaixo e a sua mudança para série de potências:

g x = 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Vamos fazer uma mudança com a nossa f ( x ) para que ela se pareça com essa g x . Vejamos só:

f x = x 9 + x 2 = x 9 ⋅ 1 1 + x 2 9 = x 9 ⋅ 1 1 - - x 2 9

Percebam que se trocarmos - x 2 / 9 por x , temos exatamente a função g ( x ) vezes x / 9 . Portanto, basta mudar x por - x 2 / 9 na série e multiplica-la por x / 9 , isto é:

f x = x 9 + x 2 = x 9 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - x 2 9 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 9 n + 1

Passo 2

Para analisarmos a convergência da série, basta lembrarmos dos conceitos de convergência para séries de potência. Ela será convergente quando x / 3 < 1 , portanto, o seu intervalo de convergência é - 3 < x < 3 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 9 n + 1

Intervalo de convergência: - 3 < x < 3 .

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