Enunciado

Encontre uma representação em série de potências para f , o gráfico de f e várias somas parciais s n ( x ) no mesmo gráfico. O que acontece com o incremento de n ?

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = ln ⁡ ( 1 + x 4 )

De acordo com o exemplo 6 apresentado nessa mesma seção no livro, podemos reescrever a função como:

f x = ln ⁡ ( 1 + x 4 ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x 4 n n  

Passo 2

Essa série é convergente para:

x 4 < 1 → x 4 < 1

- 1 < x < 1

Sendo assim, o raio de convergência é:

R = 1 - ( - 1 ) 2 = 1

Passo 3

As somas parciais da série são:

s 1 = x 4 ,   s 2 = s 1 - 1 2 x 8 ,   s 3 = s 2 + 1 3 x 12 ,   s 4 = s 3 - 1 4 x 16 …

É possível perceber que, com o incremento de n , s n ( x ) se aproxima do intervalo de convergência encontrado no passo 2, ( - 1,1 ) . O gráfico contendo o gráfico de f e as primeiras somas parciais é mostrado a seguir:

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x 4 n n  

R = 1

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