Enunciado

Expresse a função como uma soma de série de potência escrevendo primeiro as frações parciais. Expresse o intervalo de convergência.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = 2 x - 4 x 2 - 4 x + 3

Podemos reescrever a função como:

f x = 2 x - 4 ( x - 1 ) ( x - 3 )

Agora, reescrevendo em frações parciais, temos:

f x = A x - 1 + B x - 3

Dessa forma, temos que:

2 x - 4 = A x - 3 + B ( x - 1 )

Para x = 1 , temos:

2 ( 1 ) - 4 = A - 2 + B 0 → A = 1

E para x = 3 , temos:

2 3 - 4 = A 0 + B 3 - 1 → B = 1

Passo 2

Dessa forma, a equação se torna:

f x = 1 x - 1 + 1 x - 3 = - 1 1 - x + 1 - 3 1 1 - x 3

E, reescrevendo como uma soma de série de potência, temos:

- ∑ n = 0 ∞ x n - 1 3 ∑ n = 0 ∞ x 3 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 - 1 3 n + 1 x n

Passo 3

Representamos f como a soma de duas séries geométricas, sendo que a primeira converge para x   ϵ   ( - 1,1 ) e a segunda converge para x   ϵ   ( - 3,3 ) . Dessa forma, a interseção entre os intervalos fornece o intervalo de convergência, que é de:

I = ( - 1,1 )

Resposta

- ∑ n = 0 ∞ x n - 1 3 ∑ n = 0 ∞ x 3 n

I = - 1,1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que, se l i m n → ∞| c n | n = c onde c ≠ 0 , então o raio de convergência da série de potências ∑ c n x n é R = 1 c .
Suponha que a série ∑ c n x n tenha raio de convergência 2 e que a série ∑ d n x n tenha raio de convergência 3 . O que você pode dizer sobre o raio de convergência da série ∑ ( c n + d n ) x n ? Expl
Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Suponha que o raio de convergência da série de potências ∑ c n x n seja R . Qual é o raio da série de potências ∑ c n x 2 n ?
A função A definida por A x = 1 + x 3 2.3 + x 6 2.3.5.6 + x 9 2.3.5.6.8.9 + é denominada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).(a) Encontre o domíni