Enunciado

Encontre a sére de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n x → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = l n x

a = 2

Passo 1

Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n:

Passo 2

Podemos escrever f(x) como:

l n x = f - 2 + f ' - 2 x + f ' ' ( - 2 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' - 2 3 !   x 3 + f 4 ( - 2 ) 4 ! x 4 + ⋯  

Usando os dados do passo 1, temos:

l n 2 0 ! x - 2 0 + 1 1 ! 2 1 x - 2 1 + - 1 2 ! 2 2 x - 2 2 + 2 3 ! 2 3 x - 2 3 + ⋯

Em termos de série, podemos escrever:

l n 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 1 n 2 n x - 2 n    

Para encontrarmos o raio de convergência da série podemos aplicar o seguinte critério:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 2 x - 2 n + 1 n + 1 2 n + 1 ⋅ n 2 n - 1 n + 1 x - 2 n = lim n → ∞ ⁡ - 1 x - 2 n   2 n + 1  

Temos portanto

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 x - 2 2  

Divindindo o numerador e denominador por n, temos por fim:

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 x - 2 2 = | x - 2 | 2 < 1

Portanto temos que para convergência,

x - 2 < 2   → R = 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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