Enunciado

Encontre a série de Maclaurin de f (por qualquer método) e seu raio de convergência. Trace f e seus primeiros polinômios de Taylor na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e f ?

f x = cos ⁡ ( x 2 )

Passo 1

Sabemos que

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Então, se substituirmos x por x 2

cos ⁡ ( x 2 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n 2 n !

Como f x = cos ⁡ ( x 2 )

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n 2 n !

= 1 - x 4 2 ! + x 8 4 ! - x 12 6 ! + …

Passo 2

O enunciado pede para traçarmos f e os primeiros polinômios de Taylor ( T n ) que são nada mais que você pegar a série somente até um certo grau, então os primeiros polinômios são

T 0 ( x ) = 1

T 4 x = 1 - x 4 2

T 8 x = 1 - x 4 2 + x 8 24

T 12 x = 1 - x 4 2 + x 8 24 - x 12 720

E assim podemos continuar até onde quisermos.

Passo 3

Traçando f e os primeiros polinômios de Taylor

Podemos ver que quanto maior o polinômio que pegamos (maior n em T n ), maior a precisão em um raio maior.

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n 2 n !

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Use a definição da série de Taylor para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série para f ( x ) centrada no valor dado de a .
Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.
Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.
Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.
Use a definição da série de Taylor para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série para f ( x ) centrada no valor dado de a .