Enunciado

Encontre uma série de potências para f , plote f e varias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta?

f x = 1 x 2 + 25

Passo 1

Para obtermos a função f como uma série de potências, precisamos visualiza-la como a uma série que já trabalhamos bastante. Vejamos então abaixo:

1 x 2 + 25 = 1 25 ⋅ 1 1 - - x 2 25

Percebam que o termo dentro dos parênteses é um termo que já trabalhamos bastante. Reescrevendo como uma série de potências, temos

1 1 - - x 2 25 = ∑ n = 0 ∞ - x 2 25 n

Portanto, a nossa função, em série de potências é:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 5 2 n + 2

Pronto! Chegamos ao nosso resultado! Percebam que a gente poderia ter utilizado uma abordagem diferente, poderíamos ter utilizado os conhecimentos de derivadas para séries. Isto nos daria que:

1 x 2 + 25 = d d x 1 5 ⋅ tg - 1 ⁡ x 5

E com isto precisaríamos transformar a função tg - 1 ⁡ ( x / 5 ) para uma série de potências e diferencia-la. O resultado é exatamente o mesmo! Com exceção do trabalho que seria lembrar da série de potências para a função arco tangente...

OBS: Percebam que a função converge em x < 5 (não testamos as extremidades). É importante sabermos disto para podermos resolver o próximo passo e inclusive obter o valor de C na nossa série.

Passo 2

Precisamos obter um gráfico que mostre algumas somas parciais da nossa série. Para isto, vamos precisar do auxílio de softwares. Vejamos então abaixo:

À medida em que aumentamos o valor das somas parciais, a nossa função fica cada vez mais próxima da função f dentro do intervalo de convergência. Entretanto, fora dela, a função comporta-se diferente.

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 5 2 n + 2

À medida em que aumentamos o valor das somas parciais, a nossa função fica cada vez mais próxima da função f dentro do intervalo de convergência. Entretanto, fora dela, a função comporta-se diferente.

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Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? ∫ t g - 1 x x d x
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 3 ( x - 2 ) 2
Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? ∫ x 2 ln ⁡ 1 + x d x
(a) Use a Equação 1 para determinar uma representação em série de potências para f x = ln ⁡ ( 1 - x ) . Qual é o raio de convergência? (b) Use o item (a) para encontrar uma série de potências para f x
Use uma série de potência para aproximar a integral definida com seis casas decimais.