Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 20
Encontre uma série de potências para , plote e varias somas parciais na mesma tela. O que acontece quando aumenta?
Passo 1
Para obtermos a função como uma série de potências, precisamos visualiza-la como a uma série que já trabalhamos bastante. Vejamos então abaixo:
Percebam que o termo dentro dos parênteses é um termo que já trabalhamos bastante. Reescrevendo como uma série de potências, temos
Portanto, a nossa função, em série de potências é:
Pronto! Chegamos ao nosso resultado! Percebam que a gente poderia ter utilizado uma abordagem diferente, poderíamos ter utilizado os conhecimentos de derivadas para séries. Isto nos daria que:
E com isto precisaríamos transformar a função para uma série de potências e diferencia-la. O resultado é exatamente o mesmo! Com exceção do trabalho que seria lembrar da série de potências para a função arco tangente...
OBS: Percebam que a função converge em (não testamos as extremidades). É importante sabermos disto para podermos resolver o próximo passo e inclusive obter o valor de C na nossa série.
Passo 2
Precisamos obter um gráfico que mostre algumas somas parciais da nossa série. Para isto, vamos precisar do auxílio de softwares. Vejamos então abaixo:
À medida em que aumentamos o valor das somas parciais, a nossa função fica cada vez mais próxima da função dentro do intervalo de convergência. Entretanto, fora dela, a função comporta-se diferente.
Resposta
À medida em que aumentamos o valor das somas parciais, a nossa função fica cada vez mais próxima da função dentro do intervalo de convergência. Entretanto, fora dela, a função comporta-se diferente.