Enunciado

Use a Regra da Cadeia para determinar d z // d t ou d w // d t

4-

z = x ln (x + 2 y) , x = s e n t , y = cos t

Passo 1

Poderíamos fazer de três formas, já substituindo os valores de x e y dentro de z , ou deixar implícito que x e y dependem de t pela regra da cadeia ao derivar z , ou usar a regra da cadeia explicada nessa seção. Porém vou ser rebelde e vou fazer nessa questão uma forma de fazer essa derivada de modo convencional.

Fazendo a derivada de t em z pela regra do produto nós teremos:

(d z)/(d t) = (d x)/(d t) ln (x + 2 y) + x (d)/(d t) l n ( x + 2 y )

(d z)/(d t) = (d x)/(d t) ln (x + 2 y) + x xx (1)/(x + 2 y) xx ((d x)/(d t) + (2 d y)/(d t))

Passo 2

Onde d x // d t e d y // d t valem:

(d x)/(d t) = cos t

(d y)/(d t) = - s e n t

Logo:

(d z)/(d t) = cos t ln (x + 2 y) + (x)/(x + 2 y) xx ( cos t - 2 s e n t )

Arrumando um pouco nós teremos:

(d z)/(d t) = [ln (x + 2 y) + (x)/(x + 2 y)] cos t - (2 x)/(x + 2 y) s e n t

Já que x e y dependem de t , logo z está em função de t também.

Essa forma é uma outra forma de fazer sem precisar fazer arvore de derivada. Utilizando regras que já conhecemos de outras seções. (porém em funções mais complexas a arvore quebra um galhão).

Resposta

(d z)/(d t) = [ln (x + 2 y) + (x)/(x + 2 y)] cos t - (2 x)/(x + 2 y) s e n t

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Calcule d z d t determinando a função composta z ( t ) e derivando em função de t : z = x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 , x = e t , y = e - t .
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