Enunciado

Use uma série de potência para aproximar a integral definida com seis casas decimais.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

∫ 0 0,2 x ln ⁡ 1 + x 2 d x

Dessa forma, podemos reescrever o termo dentro da integral com o auxílio do exemplo 6 dessa mesma seção, susbtituindo x 2 por x , com isso, temos:

∫ x l n ( 1 + x 2 ) d x = ∫ ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x 2 n n d x

Passo 2

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

∫ ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x 2 n n d x = C + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x 2 n + 2 n ( 2 n + 2 )

Passo 3

Agora, resolvendo a integral definida, temos:

I = ∫ 0 0,2 x l n ( 1 + x 2 ) d x = x 4 1 ( 4 ) - x 6 2 6 + x 8 3 8 - x 10 4 10 + … 0 0,2

= 0,2 4 4 - 0,2 6 12 + 0,2 8 24 - 0,2 10 40 + …

Podemos notar que essa é uma série alternada, então, se usarmos os dois primeiros termos, o erro será, no máximo de 0,2 8 / 24 ≅ 1 , 1 . 10 - 7 , o que é menor do que a precisão pedida no enunciado, sendo assim:

I = 0,2 4 4 - 0,2 6 12 ≅ 0,0 00395

Resposta

I ≅ 0,000395

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Mostre que J 0 (a função de Bessel de ordem 0 dada no Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x = 0
Seja f n x = ( s e nn x ) / n 2 . Mostre que a série ∑ f n x converge para todos os valores de x, mas que a série de derivadas ∑ f n ' ( x ) diverge quando x = 2 n π , sendo n um inteiro. Para quais v
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = ln ⁡ ( 5 - x )
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência. f x = x 2 1 - 2 x 2
Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? ∫ ln ⁡ ( 1 - t ) t d t