Enunciado

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  1. Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de
    1. 2 a 3
    2. 2 a 2,5
    3. 2 a 2,1
  2. Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2
  3. Mostre que a taxa de variação da área de um círculo em relação a seu raio (para qualquer r ) é igual a circunferência do círculo. Tente explicar geometricamente por que isso é verdadeiro, desenhando um círculo cujo raio foi aumentado em ∆ r . Como você pode aproximar a variação ∆ A resultante se ∆ r for pequeno?

Passo 1

  1. Sabemos que a taxa de variação média da área é dada por
  2. A r + ∆ r - A r ∆ r

    1. Para r   variando de 2 a 3, temos
    2. A 3 - A 2 3 - 2 = 9 π - 4 π 1 = 5 π

    3. Para r   variando de 2 a 2,5 , temos
    4. A 2,5 - A 2 2,5 - 2 = 6,25 π - 4 π 0,5 = 2,25 π 0,5 = 4,5 π

    5. Para r   variando de 2 a 2,1 , temos

    A 2,1 - A 2 2,1 - 2 = 4,41 π - 4 π 0,1 = 0,41 π 0,1 = 4,1 π

    Passo 2

  3. A taxa de variação instantânea é dada pela derivada, então
  4. A r = π r 2

    A ' r = 2 π r

    Para r = 2

    A ' 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ π = 4 π

    Passo 3

  5. A circunferência de um círculo é dada por

C x = 2 π r

E a taxa de variação da área em relação ao raio é

A ' x = 2 π r

Então,

C x = A ' x = 2 π r

Passo 2

(c)Podemos demonstrar geometricamente da seguinte forma, seja o círculo abaixo

Ao calcularmos ∆ A , ficamos com

  ∆ A = A r + ∆ r - A r = π r + ∆ r 2 - π r 2 = π r 2 + 2 r ( ∆ r ) + ( ∆ r ) 2 - π r 2 = 2 π r ∆ r + π ∆ r 2 + π r 2 - π r 2 = 2 π r ∆ r + π ∆ r 2

Porém, se ∆ r for muito pequeno ∆ r 2 ≈ 0 , daí

∆ A = 2 π r ∆ r

Então

∆ A ∆ r = 2 π r

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