Enunciado

(a) Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de

i 2   a   3                                                                                               i i   2   a   2,5                                                               i i i         2   a   2 , 1

(b) Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2

(c) Mostre que a taxa de variação da área de um círculo em relação a seu raio (para qualquer r ) é igual a circunferência do círculo. Tente explicar geometricamente por que isso é verdadeiro, desenhando um círculo cujo raio foi aumentado em ∆ r . Como você pode aproximar a variação resultante em área ∆ A se ∆ r for pequeno?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r , quando r varia em diferentes intervalos:

i 2   a   3                                                                                               i i   2   a   2,5                                                               i i i         2   a   2 , 1

Depois disso, devemos encontrar a taxa de variação instantânea dessa área quando r = 2 , ou seja, A ' ( 2 ) . E por fim, vamos mostrar que a taxa de variação da área da um círculo em relação a seu raio é igual a circunferência do círculo, para qualquer raio r .

Como a gente tá falando de taxa de variação, vamos precisar usar a fórmula:

Δ y Δ x = f x 2 - f ( x 1 ) x 2 - x 1

Só que no nosso caso, essa função é a área da circunferência A r = π r 2 e ela tá variando em relação ao raio r . Então, teremos:

Δ A Δ r = A r 2 - A r 1 r 2 - r 1

Dessa forma, basta substituir os intervalos [ r 1 ,   r 2 ] que o enunciado nos deu, para descobrir a taxa de variação média em cada um deles. Depois, calcularemos a derivada de A ( r ) , no ponto r = 2 , para obter A ' ( 2 ) . E por fim, vamos analisar o comportamento da função à medida que o raio é alterado.

Vamos lá!

Passo 2

Para resolver o item (a), vamos substituir os intervalos que o enunciado nos deu na fórmula da taxa de variação da área que vimos no passo 1 . Dessa forma, para r de 2 a 3 , temos:

Δ A Δ r = A 3 - A 2 3 - 2

Como A r = π r 2 , nosso numerador fica:

Δ A Δ r = 9 π - 4 π 1

E temos:

Δ A Δ r = 5 π

Agora para r de 2 a 2,5 , temos em ( i i ) :

Δ A Δ r = A 2,5 - A 2 2,5 - 2

= 6,25 π - 4 π 0,5

= 4,5 π

E no item ( i i i ) , para r de 2 a 2,1 , vamos ter:

Δ A Δ r = A 2,1 - A 2 2,1 - 2

= 4,41 π - 4 π 0,1

= 4,1 π

Passo 3

Agora vamos calcular a taxa de variação instantânea pedida no item (b), através da derivada da função A r = π r 2 . Assim, temos:

A ' r = 2 π r

E para r = 2 :

A ' 2 = 2 ⋅ π ⋅ 2

A ' 2 = 4 π

Passo 4

Lembra que a circunferência de um círculo é dada por

C x = 2 π r

E a taxa de variação da área em relação ao raio é

A ' x = 2 π r

Então,

C x = A ' x = 2 π r

Podemos demonstrar isso geometricamente da seguinte forma, veja o círculo abaixo:

Ao calcularmos ∆ A , ficamos com:

  ∆ A = A r + ∆ r - A r

Substituindo a fórmula da área:

∆ A = π r + ∆ r 2 - π r 2

Expandindo o termo ao quadrado:

∆ A = π r 2 + 2 r ( ∆ r ) + ( ∆ r ) 2 - π r 2

∆ A = 2 π r ∆ r + π ∆ r 2 + π r 2 - π r 2

E simplificando, temos:

∆ A = 2 π r ∆ r + π ∆ r 2

Porém, se ∆ r for muito pequeno ∆ r 2 ≈ 0 . Dessa forma, teremos:

∆ A = 2 π r ∆ r

Então,

∆ A ∆ r = 2 π r

Isso quer dizer que que a taxa de variação da área de um círculo em relação a seu raio ∆ A ∆ r (para qualquer r ) é igual a circunferência do círculo 2 π r , como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a)

i 5 π ,     i i 4,5 π ,     ( i i i ) 4 , 1 π

b)

A ' 2 = 4 π

c)

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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