Enunciado

1-Encontrar, se existirem, os pontos de máximo e de mínimo globais das funções:

g)   z = - x 2 +   2 x - y 2 +   2 y - 1

Passo 1

Galera, eu já adianto que a melhor forma de resolver esse item é através do gráfico dessa função.

A primeira coisa que temos que saber é que tipo de superfície nós temos.

Bom, vamos começar completando quadrados .

z = - x 2 -   2 x - ( y 2 -   2 y ) - 1  

z =   - x - 1 2 - 1 - y - 1 2 - 1 - 1

z =   - x - 1 2 +   1 - y - 1 2 + 1 - 1

z = - x - 1 2 - y - 1 2 + 1  

Passo 2

Galera, se nós olhássemos só para o que está dentro da raiz perceberíamos que temos uma esfera. No entanto, a raiz nos diz que o z só admite valores positivos, portanto o gráfico da função coincide com a superfície de uma meia esfera.

Passo 3

Analisando o gráfico percebemos que no ponto (1,1) a função alcança o seu máximo global, quando o z é igual a 1. Já os pontos de mínimo global são aqueles sobre a circunferência de centro (1,1) e raio 1.

Resposta

O ponto de máximo global é (1,1). Já os pontos de mínimo global são aqueles que estão sobre a circunferência de centro (1,1) e raio 1.

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Verificar se o ponto ( 0 ,0 ) é ponto crítico das funções:c) f x ,y = 3 x 2 4 x 2 + 2 y 2 , x ,y ≠ 0 ,0 0 , x ,y = 0 ,0
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