Enunciado

Encontre todos os pontos de inserção das curvas dadas.

38. r = 1 + c o s θ , r = 1 - s e n θ

Passo 1

Para encontrarmos os pontos de interseção, vamos igualar ambas as equações dadas no enunciado:

1 + c o s θ = 1 - s e n θ

E então calcularmos o valor de θ que satisfaz essa equação:

s e n θ + c o s θ = 0

Dividimos tudo por c o s θ :

s e n θ c o s θ + 1 = 0

t g θ = - 1

Pelo arco da tangente teremos:

θ = 3 π 4   e   θ = 7 π 4

Passo 2

Substituindo θ = 3 π 4 numa das equações para encontrarmos o valor de r:

r = 1 + cos ⁡ 3 π 4

r = 1 - 1 2

r = 2 - 2 2

E substituindo θ = 7 π 4 :

r = 1 + cos ⁡ 7 π 4

r = 2 + 2 2

Passo 3

As coordenadas dos pontos de interseção serão:

2 - 2 2 ,   3 π 4 e   2 + 2 2 ,   7 π 4

O polo ( 0 ,   0 ) também será, apesar de não satisfazer a igualdade que escrevemos no Passo 1.

Resposta

0 ,   0 , 2 - 2 2 ,   3 π 4 e   2 + 2 2 ,   7 π 4

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