Enunciado

Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas

r = cos ⁡ 3 θ

r = sen ⁡ 3 θ

Passo 1

Quer dizer então que precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas.

Vamos olhar as duas curvas pras ver o que estamos buscando:

Pela figura, podemos perceber que existem três pontos de interseção entre as duas curvas. Vamos buscar esses pontos.

Igualando as curvas:

r = sen ⁡ 3 θ = cos ⁡ 3 θ

sen ⁡ 3 θ cos ⁡ 3 θ = tan ⁡ 3 θ = 1

3 θ = π 4     o u 5 π 4  

Assim

θ = π 12

Ou

θ = 5 π 12

E com isso, só encontramos dois pontos.

Mas aí, se você reparar, esses dois valores de θ que achamos estão no primeiro e terceiro quadrante.

Acontece que, pela figura, temos um ponto de interseção que ocorre no segundo quadrante. E mais: bem no meio do segundo quadrante. Assim, podemos dizer que o nosso terceiro θ que tá faltando é

θ = 3 π 4

(ou você podia considerar também θ > 2 π e teríamos para tangente igual a 1:

3 θ = 9 π 4

θ = 3 π 4

Belezinha?

Passo 2

Agora que já encontramos os valores de θ para os quais as duas curvas se intersectam, vamos encontrar o valor de r também?

Assim a gente forma o ponto ( r ,   θ ) bonitinho e fecha logo a questão!

Para isso, é só substituir os valores de θ em uma das curvas, já que como é um ponto de inteseção, tanto faz a curva que vamos escolher, as duas vão dar o mesmo ponto!

Para θ = π 12 :

r = cos ⁡ π 4 = 2 2

Para θ = 5 π 12 :

r = cos ⁡ 5 π 4 = - 2 2

Para θ = 3 π 4 :

r = cos ⁡ 9 π 4 = 2 2

Os pontos de interseção são portanto:

P 1 = 2 2 , π 12

P 2 = - 2 2 , 5 π 12

P 3 = 2 2 , 3 π 4

Resposta

P 1 = 2 2 , π 12

P 2 = - 2 2 , 5 π 12

P 3 = 2 2 , 3 π 4

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Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.38- r = 2 , r = 2 cos ⁡ 2 θ
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