Enunciado

3. Encontre as trajetórias ortogonais da família de parábolas convexas com vértices em 1 ,   2 .

Passo 1

Então galera, a equação de parábolas convexas para os vértices dados será:

y - 2 = c 1 x - 1 2

y = c 1 x - 1 2 + 2

Isolando c 1 , teremos:

c 1 = y - 2 x - 1 2

Show!

Passo 2

Derivando nossa função, teremos:

y ' = 2 c 1 x - 1

Substituindo c 1 , teremos:

d y d x = 2 y - 2 x - 1 2 x - 1

Simplificando, teremos:

d y d x = 2 y - 2 x - 1

Sendo assim, a equação diferencial da família ortogonal é:

d y d x = 1 - x 2 y - 2

Agora sim!

Passo 3

Separando as variáveis e integrando, teremos:

2 y - 2 d y = 1 - x d x

2 ∫ y - 2 d y = ∫ 1 - x d x

Resolvendo as integrais:

y 2 - 4 y = x - x 2 2 + c

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

y 2 - 4 y = x - x 2 2 + c

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