Enunciado

Suponha uma célula suspensa em uma solução contendo um solvente de concentração constante C s . Suponha ainda que a célula tenha volume constante C e que a área de sua superfície permeável também seja constante igual a A . Pela lei de Fick, a taxa de variação de sua massa m é diretamente proporcional à área A e á diferença C s - C t , em que C t é a concentração do solvente dentro da célula no instante t . Encontre C t se m = v C t e C 0 = C 0 . Veja a Figura 3.16.

Passo 1

Então pessoal, de início precisamos estabelecer uma equação diferencial que descreva nosso problema, ok? A questão nos diz que a taxa de variação da massa m é DIRETAMENTE proporcional à área e a diferença C s - C t , logo teremos:

d m d t = A C s - C t

Como devemos ter uma constante de proporcionalidade:

d m d t = k A C s - C t

Além disso, o enunciado nos diz que m = v C t , então substituindo teremos:

v . d C d t = k A C s - C

Opa! Encontramos nossa equação diferencial! Então bora que bora resolver isso aí!

Passo 2

A nossa equação diferencial pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis, saca só:

v . d C = k A C s - C d t

d C C s - C = k A v d t

Integrando ambos os lados:

∫ d C C s - C = k A v ∫ d t

O que nos dá como resultado:

- ln ⁡ C s - C = k A v t + c

Logo:

C s - C = e - k A v t . e c

∴ C t = k e - k A v t + C s

Show!

Passo 3

O enunciado também nos dá uma condição inicial para determinarmos k . A condição dada foi C 0 = C 0 . Aplicando, teremos:

C 0 = k e 0 + C s

∴ k = C o - C s

Substituindo na nossa solução geral:

C t = C o - C s e - k A v t + C s

E esse é nosso resultado, galera! 😉

Resposta

C t = C o - C s e - k A v t + C s

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Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.42. y ' = 2 y + x e 3 x - e 2 x , no qual y 0 = 2 .
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.54. c o s 2 x . d y d x + y = 1 , no qual y 0 = - 3 .
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.53. d y d x = y y - x , no qual y 5 = 2 .
Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.51. x x - 2 y ' + 2 y = 0 , no qual y 3 = 6 .
Nos problemas 55-58, encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada.57. d y d x + 2 x y = f x ,f x = x ,0 ≤ x1 0 ,x ≥ 1 , no qual y 0 = 2 .