Enunciado

Suponha uma célula suspensa em uma solução contendo um solvente de concentração constante C s . Suponha ainda que a célula tenha volume constante C e que a área de sua superfície permeável também seja constante igual a A . Pela lei de Fick, a taxa de variação de sua massa m é diretamente proporcional à área A e á diferença C s - C t , em que C t é a concentração do solvente dentro da célula no instante t . Encontre C t se m = v C t e C 0 = C 0 . Veja a Figura 3.16.

Passo 1

Então pessoal, de início precisamos estabelecer uma equação diferencial que descreva nosso problema, ok? A questão nos diz que a taxa de variação da massa m é DIRETAMENTE proporcional à área e a diferença C s - C t , logo teremos:

d m d t = A C s - C t

Como devemos ter uma constante de proporcionalidade:

d m d t = k A C s - C t

Além disso, o enunciado nos diz que m = v C t , então substituindo teremos:

v . d C d t = k A C s - C

Opa! Encontramos nossa equação diferencial! Então bora que bora resolver isso aí!

Passo 2

A nossa equação diferencial pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis, saca só:

v . d C = k A C s - C d t

d C C s - C = k A v d t

Integrando ambos os lados:

∫ d C C s - C = k A v ∫ d t

O que nos dá como resultado:

- ln ⁡ C s - C = k A v t + c

Logo:

C s - C = e - k A v t . e c

∴ C t = k e - k A v t + C s

Show!

Passo 3

O enunciado também nos dá uma condição inicial para determinarmos k . A condição dada foi C 0 = C 0 . Aplicando, teremos:

C 0 = k e 0 + C s

∴ k = C o - C s

Substituindo na nossa solução geral:

C t = C o - C s e - k A v t + C s

E esse é nosso resultado, galera! 😉

Resposta

C t = C o - C s e - k A v t + C s

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial: y ' = x e x - y c o s s e c   y
Resolva a equação diferencial. y ' = e y x y
Resolva a equação diferencial. x y ' + y = x
Determine se a equação diferencial é linear. x y + x = e x y '
Determine se a equação diferencial é linear. x y ' + ln ⁡ x - x 2 y = 0
Determine se a equação diferencial é linear. y + s e n   x = x 3 y '
Resolva a equação diferencial. y ' = x y e x 2
Resolva a equação diferencial. y ' = x e y x - 2  
Uma trajetória de fase é mostrada para as populações de coelhos (C) e raposas (R).Descreva como cada população muda com o passar do tempo.Use sua descrição para fazer um esboço gro...
Os gráficos de populações de duas espécies são ilustrados. Use-os para esboçar a trajetória de fase correspondente.
Os gráficos de populações de duas espécies são ilustrados. Use-os para esboçar a trajetória de fase correspondente.
As populações de pulgões e joaninhas são modeladas pelas equações d P d t = 2 P - 0,01 P J d J d t = - 0,5 J + 0,0001 P J Calcule as soluções de equilíbrio e explique seu significa...