Enunciado

Um problema de interesse na história da matemática é a de encontrar a tautócrona- a curva descrita por uma partícula deslizando livremente sob a ação apenas da gravidade, atingindo o fundo no mesmo instante independente de seu ponto de partida na curva. Esse problema apareceu na construção de um relógio com pêndulo, cujo período é independente da amplitude de seu movimento. A tautócrona foi encontrada por Christian Huygens (1629-1695), em 1673, por métodos geométricos e, mais tarde, por Leibniz e Jakob Bernoulli usando argumentos analíticos. A solução de Bernoulli (em 1690) foi uma das primeiras ocasiões em que se resolveu explicitamente uma equação diferencial. A configuração geométrica está ilustrada na figura a seguir. O ponto inicial P ( a , b ) é unido ao ponto final ( 0,0 ) pelo arco C . O comprimento de arco s é medido a partir da origem, e f ( y ) denota a taxa de variação de s em relação a y :

(i)

Segue, então, do princípio de conservação de energia, que o tempo T ( b ) necessário para uma partícula deslizar de P até a origem é:

(ii)

(a) Suponha que T b = T 0 , uma constante, para cada b . Calculando a transformada de Laplace da equação T ( b ) nesse caso e usando o teorema sobre a convolução mostre que:

(iii)

Depois mostre que:

(iv)

(b) Combinando as equações (i) e (iv), mostre que:

(v)

Em que α = g T 0 2 / π 2 .

(c) Use a substituição y = 2 α s e n 2 ( θ / 2 ) para resolver a equação (v) e mostre que

x = α θ + s e n θ ;

y = α ( 1 - c o s θ )

Passo 1

Nosso primeiro passo será calcular a transformada de Laplace para a função:

T b = 1 2 g ∫ 0 b f y b - y d y

Vamos começar dizendo que T b = T 0 e é constante. Além disso, vamos chamar

g y = 1 / y

Pelo teorema da convolução se temos uma função:

h y = ∫ 0 b f y g ( b - y ) d y

e

H s = L h ( y ) = L f ( y ) x L g ( y )

H s = F s G ( s )

Então nossa equação fica:

T 0 = 1 2 g h ( y )

Aplicando a transformada de Laplace

L T 0 = 1 2 g L h ( y )

T 0 s = 1 2 g L f y x L g y

T 0 s = 1 2 g F ( s ) x L y - 1 2

Pela tabela 6.2.1 do livro:

L y - 1 2 = Γ - 1 2 + 1 s - 1 2 + 1 = Γ 1 2 s 1 2 = Γ 1 2 s

Substituindo na equação:

T 0 s = 1 2 g F ( s ) x Γ 1 2 s

Γ 1 2 = π

T 0 s = 1 2 g F ( s ) x π s

T 0 s = F s x ( π 2 g s )

F s = T 0 s x 2 g s π

F s = T 0 2 g π s

E assim chegamos à transformada F ( s ) . O item (a) nos pede ainda para encontrar a função f ( y ) . Para isso, vamos calcular a transformada inversa de F ( s ) :

L - 1 F ( s ) = L - 1 T 0 2 g π s

f y = T 0 2 g π L - 1 1 s 1 2

f y = T 0 2 g π x Γ 1 2 Γ 1 2 x L - 1 1 s 1 2

f y = T 0 2 g π x 1 Γ 1 2 x L - 1 Γ 1 2 s 1 2

De acordo com a tabela 6.2.1:

L - 1 Γ 1 2 s 1 2 = y - 1 2

f y = T 0 2 g π y - 1 2

f y = 2 g π T 0 y

Passo 2

Nosso próximo passo será utilizar a função f ( y ) que encontramos para chegar a uma expressão para d x d y . Vamos lá???

A equação (i) é:

f y = 1 + d x d y 2 1 2

2 g π T 0 y = 1 + d x d y 2 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

2 g T 0 2 π 2 y = 1 + d x d y 2

2 g T 0 2 π 2 y - 1 = d x d y 2

Chamando α = g T 0 2 / π 2 ficamos com:

2 α y - 1 = d x d y 2

2 α - y y = d x d y 2

E finalmente tirando a raiz dos dois lados chegamos em:

d x d y = 2 α - y y

Passo 3

Nosso último passo devemos resolver a equação:

d x d y = 2 α - y y

O exercício sugere que façamos a substituição:

y = 2 α s e n 2 ( θ / 2 )

A função sen 2 ⁡ θ / 2 pode ser descrita como:

s e n 2 θ 2 = 1 - cos ⁡ θ 2

Então

y = 2 α 1 - cos ⁡ θ 2

y = α ( 1 - cos ⁡ θ )

E chegamos à equação para a posição y . Agora vamos calcular o diferencial para aplicar na equação d x / d y .

d y d θ = 2 α d d θ s e n 2 θ 2

d y d θ = 2 α d d θ 1 - cos ⁡ θ 2

d y d θ = 2 α ( - 1 2 ) d d θ ( cos ⁡ θ )

d y d θ = α sen ⁡ θ

d y = α s en ⁡ θ d θ

Voltando à equação d x / d y :

d x d y = 2 α - y y

d x α sen ⁡ θ d θ = 2 α - 2 α s e n 2 ( θ / 2 ) 2 α s e n 2 ( θ / 2 )

d x α sen ⁡ θ d θ = 2 α 1 - s e n 2 θ 2 2 α s e n 2 ( θ / 2 )

d x α sen ⁡ θ d θ = 1 - s e n 2 θ 2 s e n 2 ( θ / 2 )

d x α sen ⁡ θ d θ = cos 2 ⁡ ( θ / 2 ) s e n 2 ( θ / 2 )

d x α sen ⁡ θ d θ = cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2

d x 2 α sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 d θ = cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2

d x = 2 α cos 2 ⁡ θ 2 d θ

A função cos 2 ⁡ θ 2 pode ser escrita como:

cos 2 ⁡ θ 2 = 1 + cos ⁡ θ 2

Substituindo:

d x = 2 α 1 + cos ⁡ θ 2 d θ

d x = α 1 + cos ⁡ θ d θ

∫ 0 x d x = ∫ 0 θ α 1 + cos ⁡ θ d θ

x = α ( θ + sen ⁡ θ )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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