Enunciado

Expresse a solução do problema de valor inicial dado em função de uma integral de convolução:

4 y ' ' + 4 y ' + 17 y = g ( t ) ;

y 0 = 0   e   y ' 0 = 0

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar a função y ( t ) . Vamos começar aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação:

4 y ' ' + 4 y ' + 17 y = g ( t )

L 4 y ' ' + 4 y ' + 17 y = L g ( t )

4 L y ' ' + 4 L y ' + 17 L y = L g ( t )

Vamos chamar L y t = Y ( s ) e L g ( t ) = G ( s ) . Então:

4 ( s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 ) + 4 s Y s - y 0 + 17 Y s = G ( s )

4 s 2 + 4 s + 17 Y s - 4 s y 0 - 4 y ' 0 - 4 x y 0 = G ( s )

4 s 2 + 4 s + 17 Y s - 4 s x 0 - 4 x 0 - 4 x 0 = G ( s )

4 s 2 + 4 s + 17 Y s = G ( s )

Y s = G ( s ) 4 s 2 + 4 s + 17

Y s = 1 4 s 2 + 4 s + 17 x G ( s )

Passo 2

Vamos agora chamar

F s = 1 4 s 2 + 4 s + 17

F s = 1 4 x s 2 + s + 1 4 + 4

F s = 1 4 x 1 s + 1 2 2 + 4

F s = 1 8 x 2 s + 1 2 2 + 4

Antes de continuar vamos relembrar o teorema de convolução. Ele diz que: se F s = L f t e G s = L g t existem e Y s = L y t = F s x G ( s ) , a função y ( t ) pode ser descrita como:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

O que vamos fazer então é aplicar a transformada inversa nas funções F ( s ) e G ( s ) para encontrar f ( t ) e g ( t ) .

De acordo com a tabela 6.2.1:

F s = c b s - a 2 + b 2 → f t = c e a t sen ⁡ b t

Passo 3

Para o nosso exercício:

F s = 1 8 x 2 s + 1 2 2 + 4 → f t = 1 8 x e - 1 2 t sen ⁡ 2 t

G s → g t

Aplicando o teorema sobre a convolução:

y t = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

y t = ∫ 0 t 1 8 x e - 1 2 t - τ sen ⁡ 2 t - τ g ( τ ) d τ

y t = 1 8 x e - 1 2 t ∫ 0 t e 1 2 τ sen ⁡ 2 ( t - τ ) g ( τ ) d τ

Resposta

A função dada é y t = 1 8 x e - 1 2 t ∫ 0 t e 1 2 τ sen ⁡ 2 ( t - τ ) g ( τ ) d τ .

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