Enunciado

Encontre três diferentes superfícies que contém a curva: r → t = t 2 i → + ln ⁡ t j → + ( 1 / t ) k → .

Passo 1

Nesse exercício, temos:

x = t 2 ,     y = ln ⁡ t ,     z = 1 / t

Dessa forma, devido à expressão em y , sabemos que o domínio de r → é 0 , ∞ . Isolando t da equação em x , temos:

t = x

Passo 2

Com isso, podemos agora substituir essa relação na equação para y :

y = ln ⁡ x = ln ⁡ x

Dessa forma, a curva está sob o cilindro y = ln ⁡ x . Podemos agora realizar o mesmo procedimento substituindo o valor de t na equação para z , obtendo:

z = 1 t = 1 x

Então a curva também fica sob o cilindro z = 1 / x .

Passo 3

E, por fim, da equação em z , podemos reescrever:

z = 1 t → t = 1 z

Aplicado l n dos dois lados da equação, ficamos com:

ln ⁡ t = ln ⁡ 1 z

Da equação em y , temos que ln ⁡ t = y , dessa forma, substituindo essa expressão na equação anterior, obtemos:

y = ln ⁡ 1 z

Dessa forma, a curva também fica sob o cilindro y = ln ⁡ 1 z .

Resposta

y = ln ⁡ x

z = 1 / x

y = ln ⁡ 1 z

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(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.(b) Encontre r’(t)(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t. r t = e 2 t i + e t j, t = 0
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