Enunciado

Use coordenadas esféricas.

Passo 1

Calcule o valor de:

int int int y^2 z^2 d V

Sob E que fica acima do cone varphi = pi // 3 e abaixo da esfera rho = 1 .

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = rho s e n varphi cos theta , y = rho s e n varphi s e n theta , z = rho cos varphi , x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Analisando a região dada no enunciado, podemos reescrever a integral já com os limites de integração dados e transformando as coordenadas para o sistema esférico, sendo assim:

int_0^(pi // 3) int_0^(2 pi) int_0^1 (rho s e n varphi s e n theta)^2 (rho cos varphi)^2 rho^2 s e n varphi d rho d theta d varphi

Passo 2

Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:

int_0^(pi // 3) s e n^3 varphi cos^2 varphi d varphi int_0^(2 pi) s e n^2 theta d theta int_0^1 rho^6 d rho

Das relações fundamentais da trigonometria, temos: s e n^2 x + cos^2 x = 1 , s e n^2 x - cos^2 x = cos 2 x e s e n^2 x = ( 1 - cos 2 x ) // 2 , sendo assim, lançando mão dessas relações, podemos reescrever a integral como:

int_0^(pi // 3) (1 - cos^2 varphi) s e n varphi cos^2 varphi d varphi int_0^(2 pi) (1)/(2) ( 1 - cos 2 theta ) d theta int_0^1 rho^6 d rho

Passo 3

Antes de resolver a integral, devemos notar que, para varphi , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:

int cos^x theta s e n theta

São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s theta -> d u = - s e n theta e a integral se torna:

int - u^x d u = - (u^(x + 1))/(x + 1) = - (cos^x theta)/(x + 1)

Nesse caso, temos x = 2 e x = 4 , então, resolvendo as integrais em varphi , temos:

int_0^(pi // 3) (1 - cos^2 varphi) s e n varphi cos^2 varphi d varphi = [(1)/(5) cos^5 varphi - (1)/(3) cos^3 varphi]_0^(pi // 3)

Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:

[(1)/(5) cos^5 varphi - (1)/(3) cos^3 varphi]_0^(pi // 3) [(1)/(2) theta - (1)/(4) s e n 2 theta]_0^(2 pi) [(1)/(7) rho^7]_0^1

[(1)/(5) ((1)/(2))^5 - (1)/(3) ((1)/(2))^3 - (1)/(5) + (1)/(3)] [pi - 0] [(1)/(7) - 0]

(47)/(480) ( pi ) ((1)/(7))

Sendo assim, temos que:

int int int y^2 z^2 d V = (47)/(3360) pi

Resposta

int int int y^2 z^2 d V = (47)/(3360) pi

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