Enunciado

Encontre o valor exato de cada expressão

a) arctan ⁡ 3

b) arcsin ⁡ - 1 2  

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Desejamos encontrar o valor exato da expressão dada em cada alternativa.

arctan ⁡ 3

arcsin ⁡ - 1 2

Pra isso, devemos lembrar que para as funções inversas o raciocínio deve ser o inverso do que fazemos com a função normal, ou seja, devemos pensar qual é o arco cuja função resulta o resultado entre parênteses.

Em outras palavras, quando estamos lidando com o arco de alguma função trigonométrica, temos que identificar o ângulo em que aplicado à função trigonométrica do arco, resulte no valor do arco, ou seja, por exemplo

arccos ⁡ x = θ → cos ⁡ θ = x

Parece complicado?

Passo 2

Então, vamos começar por arctan ⁡ 3 .

A partir da explicação do passo 1, temos que encontrar o ângulo cuja tangente é 3 ...

arctan ⁡ 3 = θ → tan ⁡ θ = 3  

A partir do círculo trigonométrico, podemos perceber que para θ = π 3 , a tangente resulta em 3 , ou seja, o ângulo cuja tangente dá 3 é π 3 .

arctan ⁡ 3 = π 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para a outra alternativa temos arcsin ⁡ - 1 2 .

Vamos fazer a mesma análise, porém, a função que estamos estudando é a função seno.

arcsin ⁡ - 1 2 = θ → sin ⁡ θ = - 2 2

Temos que verificar qual ângulo θ aplicado ao seno resulta em - 2 / 2 ...

Novamente pelo círculo trigonométrico, podemos perceber que

sin ⁡ - π 4 = - 2 2

Logo

arcsin ⁡ - 1 2 = - π 4

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

(a) arctan ⁡ 3 = π 3

(b) arcsin ⁡ - 1 2 = - π 4  

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