Enunciado

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.

lim x → - 2 ⁡   x + 2 x 2 + 3 x + 2

Passo 1

O limite que ele nos pede para calcular é o seguinte:

L = lim x → - 2 ⁡   x + 2 x 2 + 3 x + 2

Repare que podemos fatorar esse denominador para tentar simplificar. Então vamos achar as raízes e fatorar.

x 2 + 3 x + 2 = 0

Logo,

x = - 3 ± 3 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1

Resolvendo,

x = - 3 ± 1 2 → x = - 2   ou   x = - 1

Agora é só fatorar:

x 2 + 3 x + 2 = ( x + 2 ) ( x + 1 )

Passo 2

Voltando para o nosso limite, temos:

L = lim x → - 2 ⁡   x + 2 x 2 + 3 x + 2

Usando que x 2 + 3 x + 2 = ( x + 2 ) ( x + 1 ) :

L = lim x → - 2 ⁡   x + 2 x + 2 x + 1

Simplificando o ( x + 2 ) :

L = lim x → - 2 ⁡   1 x + 1

Pra finalizar, basta fazermos x → - 2 :

L = 1 - 2 + 1

Portanto,

L = - 1

Resposta

L = - 1

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