Enunciado

Encontre d y / d x e d 2 y / d x 2 . Para quais valores de t   a curva é côncava para cima?

x = e t ,   y = t e - t

Passo 1

Para encontrarmos d y / d x fazemos:

d y d x = d y d t d x d t = - t e - t + e - t e t = e - t ( 1 - t ) e t = e - 2 t ( 1 - t )

Passo 2

Para encontrar e d 2 y / d x 2 derivamos novamente, temod que:

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t = e - 2 t - 1 + ( 1 - t ) ( - 2 e - 2 t ) e t = e - 2 t ( - 1 - 2 + 2 t ) e t = e - 3 t ( 2 t - 3 )

Passo 3

A curva é côncava quando

d 2 y d x 2 > 0

Como e - 3 t é sempre positivo, precisamos que

2 t - 3 > 0 ∴ t > 3 2

Resposta

d y d x = e - 2 t ( 1 - t )

d 2 y d x 2 = e - 3 t ( 2 t - 3 )

Para valores de t > 3 / 2

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