Enunciado

Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para esses valores de p .

∫ e ∞ 1 x l n x p   d x  

Passo 1

Temos uma integral imprópria, então vamos fazer o procedimento que sempre fazemos, hihi.

∫ e ∞ 1 x l n x p   d x   = l i m h → ∞     ∫ e h 1 x l n x p   d x  

Para resolver a integral, vamos usar substituição,

u = l n x   ⇒ d u = 1 x d x

Vamos achar primeiro a primitiva e depois aplicar nos intervalos de integração, ok ?

∫ 1 x l n x p   d x   = ∫   u - p   d u = u 1 - p 1 - p = ( ln ⁡ x   ) 1 - p 1 - p

Aplicando os intervalos de integração,

l i m h → ∞     ∫ e h 1 x l n x p   d x =   l i m h → ∞   ( ln ⁡ x   ) 1 - p 1 - p ​ e h = 1 1 - p   l i m h → ∞ ln ⁡ x   - p - 1   ​ e h  

Ou seja,

1 1 - p   l i m h → ∞ ln ⁡ x   - p - 1   ​ e h = 1 1 - p   lim ⁡   h → ∞ 1 ln ⁡ h   p - 1 - 1

Perceba que se p - 1 > 0 ⇒ p > 1 ,

lim ⁡     h → ∞   1 ln ⁡ h   p - 1 = 0

Então a integral converge para - 1 1 - p

Resposta

p > 1 , a integral converge para - 1 1 - p

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