Enunciado

Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D .

f x , y = 2 x 3 + y 4 , D = x , y x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 1

Bom galera, nossa função é:

f x , y = 2 x 3 + y 4 , D = x , y x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 2

Beleza, a gente pega as derivadas parciais, em função x e em função de y :

f x = 6 x 2

f y = 4 y 3

Igualando os dois a 0 :

f x = 6 x 2 = 0

f y = 4 y 3 = 0

Temos que o único ponto critico é ( 0,0 ) .

E f 0,0 = 0 .

Passo 3

Nossa fronteira é:

x 2 + y 2 = 1

→ y 2 = 1 - x 2

Então a gente pode substituir na nossa função:

f x , y = 2 x 3 + y 4

→ f x = 2 x 3 + 1 - x 2 2

A derivada dela fica:

f ' = 6 x 2 - 4 x 1 - x 2

Igualamos a 0 :

f ' = 6 x 2 - 4 x 1 - x 2 = 0

E encontramos:

x = - 2 ; 0 ; 1 2

Mas nessa caso podemos ignorar o x = - 2 porque o resultado da nossa derivada té no intervalo de - 1,1

Passo 4

Então vamos calcular:

f 0 = 2 ( 0 ) 3 + 1 - ( 0 ) 2 2 = 1

E:

f 1 2 = 2 1 2 3 + 1 - 1 2 2 2 = 1 3 16

Então aplicado os valores de x na função temos:

f - 1 = - 2

f 1 = 2

Logo esses são o máximo e o mínimo da função.

Resposta

Minimo: - 2

Máximo: 2

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