Enunciado

Encontre os vértices e os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce o seu gráfico.

21. y 2 - x 2 = 4

Passo 1

Nessa questão, nos foi dada a equação de uma hipérbole, para encontrarmos seus vértices, focos e assíntotas.

Observe que como não temos nenhum número somando ou subtraindo do   x 2 e do y 2 podemos dizer que a hipérbole é centrada na origem.

A equação geral de uma hipérbole centrada na origem é x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , mas veja que na equação dada nós não temos nenhum número embaixo do x e do y , nem 1 do lado direito. Para deixar ela mais parecida com a equação da hipérbole que estamos acostumados vamos dividir ambos os lados por 4 , assim:

y 2 4 - x 2 4 = 1

Show! Agora podemos usar essa equação para encontrar o que foi pedido:

O foco de uma hipérbole desse tipo é dado por f = ( 0 , ± a 2 + b 2 )

Como nossa equação é     y 2 4 - x 2 4 = 1 , temos que f = ( 0 , ± 2 2 )

Passo 2

Os vértices de uma hipérbole centradas na origem são: V = ( 0 , ± a )

Então, V = ( 0 , ± 2 )

Passo 3

As assíntotas da hipérbole podem ser encontradas por y = ± a b x . Neste caso temos y = ± 2 2 x = ± x .

Viu? Apesar do nome “assíntota da hipérbole” parecer assustador, no fim é uma coisa bem simples, nada de sofrer sem precisar.

Passo 4

Juntando todas essas informações, podemos fazer o esboço da hipérbole:

Resposta

f = ( 0 , ± 2 2 )

V = ( 0 , ± 2 )

y = ± x

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Esboce a curva com a equação dada. r = θ , θ ≥ 0
Esboce a curva com a equação dada. r = sen ⁡ θ
Esboce a curva com a equação dada. r 2 - 3 r + 2 = 0
Esboce a curva com a equação dada. r = 2 + sen ⁡ θ
Esboce a curva com a equação dada. r 2 = cos ⁡ 4 θ