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Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar

r = e d 1 + e sen ⁡ θ

Passo 1

Beleza, pessoal? Primeiro, vamos fazer um esboço do que seria uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d , beleza?

Agora, como provar que essa cônica tem a seguinte equação?

r = e d 1 + e sen ⁡ θ

Passo 2

Galera, vamos lembrar de como definimos uma cônica: a razão entre a distância P F de um ponto qualquer da cônica ao foco e a distância | P l | entre esse ponto e a reta diretriz deve ser igual à excentricidade:

P F | P l | = e

Digamos que o ponto P tem coordenadas polares r ,   θ e retangulares x ,   y .

Como mostra a figura, o foco está na origem, então P F = r .

Olhando novamente pra figura, vemos que P l = d - | y |

Como y é positivo:

P l = d - y = d - r   s e n   θ

Passo 3

Agora que já temos P F e P l em coordenadas polares, jogamos esses valores na equação:

P F | P l | = e

r d - r sen ⁡ θ = e

r = e d - r e sen ⁡ θ

r ( 1 + e sen ⁡ θ ) = e d

r = e d 1 + e sen ⁡ θ

Show! Essa é a equação à qual queríamos chegar!

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9-16. Esboce a curva polar.10. r = s e n   4 θ
(a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica r = 1 1 - 2  
r = 3 4 - 8 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a c
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a c
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz