Enunciado

Encontre os vetores T , N e B no ponto indicado.

r (t) = (cos t , sen t , ln cos t)

(1 , 0 , 0)

Passo 1

Para calcular T usaremos a fórmula

T (t) = (r ' (t))/(| r ' (t) |)

Calculando r ' (t)

r ' (t) = (- sen t , cos t , (- sen t)/(cos t)) = (- sen t , cos t , - tg t)

E agora calculando o módulo

| r ' (t) | = sqrt((- sen t)^2 + (cos t)^2 + ( - tg t )^2)

= sqrt(1 + tg^2 t) = sqrt(sec^2 t) = sec t

Então

T (t) = ((- sen t , cos t , - tg t))/(sec t) = (- sen t cos t , cos^2 t , - sen t)

Substituindo o ponto (1 , 0 , 0) , esse ponto acontece quando t = 0

T (0) = (0 , 1 , 0)

Passo 2

Para calcular N usaremos a fórmula

N (t) = (T ' (t))/(| T ' (t) |)

Derivando T (t)

T ' (t) = (- cos^2 t + sen^2 t , 2 cos t ( - sen t ) , - cos t)

T ' (t) = (- cos 2 t , - sen 2 t , - cos t)

Calculando o módulo

| T ' (t) | = sqrt((- cos 2 t)^2 + (- sen 2 t)^2 + (- cos t)^2)

| T ' (t) | = sqrt(1 + cos^2 t)

Substituindo na fórmula

N (t) = ((- cos 2 t , - sen 2 t , - cos t))/(sqrt(1 + cos^2 t))

N (t) = (- (cos 2 t)/(sqrt(1 + cos^2 t)) , - (sen 2 t)/(sqrt(1 + cos^2 t)) , - (cos t)/(sqrt(1 + cos^2 t)))

Quando t = 0

N (0) = (- (1)/(sqrt(1 + 1)) , 0 , - (1)/(sqrt(1 + 1)))

N (0) = (- (1)/(sqrt(2)) , 0 , - (1)/(sqrt(2)))

Passo 3

Para calcular B usaremos a fórmula

B (t) = T (t) xx N (t)

Como queremos quando t = 1

B (0) = (0,1 , 0) xx (- (1)/(sqrt(2)) , 0 , - (1)/(sqrt(2)))

B (0) = |[[i,j,k],[0,1,0],[-,(1)/(sqrt(2)),0,-,(1)/(sqrt(2))]]| = i (- (1)/(sqrt(2))) - j (0) + k ((1)/(sqrt(2)))

B (0) = (- (1)/(sqrt(2)) , 0 , (1)/(sqrt(2)))

Resposta

T = (0,1 , 0)

N = (- (1)/(sqrt(2)) , 0 , - (1)/(sqrt(2)))

B = (- (1)/(sqrt(2)) , 0 , (1)/(sqrt(2)))

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