Enunciado

Calcule ∬ D 1 - x 2 - y 2 d A , onde D é o disco x 2 + y 2 ≤ 1 , identificando primeiro a integral como o volume de um sólido.

Passo 1

Faala, pessoal!

Essa questão deu pra gente uma integral, e pede pra calcular, mas primeiro precisamos identificar de qual sólido que essa integral é volume!

Pra isso, a gente precisa lembrar que uma integral:

∬ D f x ,   y d A

É o volume do sólido entre a superfície z = f x , y e o plano x y , sobre a região D do plano x y .

Então o que a gente vai fazer é identificar a superfície z = f ( x , y ) , e a região D , pra sabermos quem é esse sólido e calcular o volume!

Passo 2

A superfície que a gente quer descobrir é definida por essa expressão:

z = 1 - x 2 - y 2

Percebemos primeiro que z ≥ 0 , então estamos acima do plano x y . Pra identificar essa superfície, vamos elevar os dois lados ao quadrado pra tirar essa raiz:

z 2 = 1 - x 2 - y 2

⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 1

Essa superfície é uma esfera de raio 1 centrada na origem:

A região D é definida por x 2 + y 2 ≤ 1 , então é um círculo de raio 1 no plano x y centrado na origem.

Só que essa é exatamente a região embaixo da semiesfera que a gente achou agora!

Então o nosso sólido vai ser a região entre essa superfície e o plano x y :

Essa curva em azul é o limite do disco D .

Passo 3

Como já vimos, essa integral representa o volume do sólido que achamos no Passo 2:

∬ D 1 - x 2 - y 2 d A = V s e m i e s f e r a = V e s f e r a 2

O volume de uma esfera de raio r é calculado por essa fórmula:

V e s f e r a = 4 3 π r 3

Como a nossa esfera tem raio 1 :

V e s f e r a = 4 3 π

E então:

∬ D 1 - x 2 - y 2 d A = 4 3 π 2 = 2 3 π

E esse é o valor da integral!

Resposta

∬ D 1 - x 2 - y 2 d A = 2 π 3

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