Enunciado

Calcule ∫ ∫ D 1 - x 2 - y 2   d A , onde D é o disco x 2 + y 2 ≤ 1 , identificando primeiro a integral como o volume de um sólido.

Passo 1

O probleme fornece para gente uma integral iterada e queremos saber qual é o sólido cujo volume é dado por ela.

O primeiro passo é olhar para o domínio de integração:

Trata-se do círculo de raio 1 . A integral fornecida dá o volume do sólido entre o plano x y e a superfície de equação

z = 1 - x 2 - y 2

Mas essa superfície representa a parte superior da esfera de raio 1 cuja equação é

z 2 = 1 - x 2 - y 2 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 1

Assim, o sólido cujo volume é dado pela integral é metade de uma esfera de raio 1 .

Passo 2

Sabemos que o volume de uma esfera de raio r é

V e s f = 4 π r 3 3

Assim, para uma esfera de raio r = 1 :

V e s f = 4 π 3

Como a integral representa o volume de um sólido que é metade da esfera:

∫ ∫ D 1 - x 2 - y 2   d A = 1 2 ⋅ 4 π 3 = 2 π 3

Resposta

∫ ∫ D 1 - x 2 - y 2   d A = 2 π 3

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