Enunciado

Encontre o volume do sólido S descrito. A base de S é a região elíptica limitada pela curva 9 x 2 + 4 y 2 = 36 . As secções transversais perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles retos com hipotenusa na base.

Passo 1

Fala aí. Vamos matar mais essa questão juntinhos? Então partiu!

Queremos encontrar o volume do sólido onde a base S é a região elíptica limitada pela curva:

9 x 2 + 4 y 2 = 36

Além disso as seções transversais da elipse perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles retos com hipotenusa sendo a base desses triângulos.

Se considerarmos que l é uma aresta desse triângulo retângulo isósceles e 2 y é uma hipotenusa, então podemos aplicar o teorema de Pitágoras com:

l 2 + l 2 = 2 y 2  

O que nos dá a seguinte relação:

2 l 2 = 4 y 2

l 2 = 2 y ²

Agora vamos olhar a expressão da nossa elipse que é:

Temos a seguinte figura:

9 x 2 + 4 y 2 = 36

Veja que nela também podemos isolar o termo 2 y . E assim termos a seguinte figura:

Passo 2

O que estamos procurando é o volume do sólido descrito, lembrando que são infinitos triângulos isósceles que formam esse sólido e que suas hipotenusas estão sempre perpendiculares ao eixo x varrendo a região da elipse.

Sendo assim iremos integrar a função destacada ao longo do eixo x varrendo toda a região da elipse que se inicia no ponto x = - 2 e vai até o x = 2 . A função que iremos integrar é a área dos triângulos formados.

V = ∫ - 2 2 A x d x

Como temos uma simetria na elipse, podemos fazer a integral apenas de um lado e multiplicar por dois:

2 ∫ 0 2 A x d x

Como nosso triângulo é isóscele e reto sua área pode ser expressa por:

A = B a s e × A l t u r a 2 = 1 2 l ( l )

Passo 3

Encaixando essas informações na integral, ficamos com:

2 ∫ 0 2 1 2 l l d x

2 ∫ 0 2 1 2 2 y 2 d x

Cortamos os 2 que estão dentro da integral, e lembrando que y 2 = 36 - 9 x 2 , fazemos:

2 ∫ 0 2 1 4 36 - 9 x 2 d x

9 2 ∫ 0 2 4 - x 2 d x

9 2 4 x - 1 3 x 3 0 2

9 2 8 - 8 3 = 24  

Resposta

V = 24

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