Enunciado

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos

y = x 2 / 3 ,   x = 1 ,   y = 0 ;           e m   t o r n o   d o   e i x o   y

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo especificado. Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume. Após encontrar o volume, iremos esboçar graficamente o sólido e a região.

Passo 2

Utilizando a definição de volume de sólido de revolução, podemos escrever a seguinte integral

V = ∫ 0 1 π 1 2 - y 3 2 2 d y

Resolvendo a integral, temos

V = ∫ 0 1 π 1 - y 3 d y = π y - y 4 4 0 1 = π 1 - 1 4 = 3 4 π

Passo 3

Podemos esboçar graficamente a região e o sólido da seguinte maneira

Resposta

V = 3 4 π

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