Enunciado

Encotre uma equação da tangente à curva no ponto dada por dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) primeiro eliminando o parâmetro.

x = e t ,               y = t - 1 2 ,             1 ,   1

Passo 1

O exercício quer que você encontre a equação da reta tangente à curva parametrizada dada. Devemos fazer isso de duas formas diferentes. Na primeira usamos a curva na forma parametrizada e, para isso, precisamos achar o valor de t que corresponde ao ponto fornecido:

e t = 1 t - 1 2 = 1

A solução desse sistema é t = 0 . A inclinação da tangente será dada pela derivada da curva:

d y d x = d y d t d x d t

Assim,

d y d x = 2   ( t - 1 ) e t

Substituindo t = 0 :

m = - 2 1 = - 2

Passo 2

O exercício também pede para encontrarmos a inclinação da tangente eliminando o parâmetro. Para isso, isolamos t na equação de x :

x = e t ⇒ t = ln ⁡ x

E substituímos na equação de y :

y = t - 1 2 ⇒ y = ln ⁡ x - 1 2

Assim,

d y d x = 2   ln ⁡ x - 1 ⋅ 1 x

Trocando x = 1 :

m = 2   ln ⁡ 1 - 1 ⋅ 1 1 = 2 ⋅ - 1 = - 2

Note que chegamos na mesma resposta!!!

Passo 3

Sabemos que a equação da reta tangente é

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Assim, para x 0 = y 0 = 1 e m = - 2 :

y - 1 = - 2   ( x - 1 )

Logo,

y = - 2 x + 3

Resposta

y = - 2 x + 3

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