Enunciado

Enfocando conceitos

A face de um relógio quebrado caiu inteira no plano x y com o centro do relógio na origem e as 3 horas na direção do eixo x positivo. Quando o relógio quebrou, a ponta do ponteiro das horas parou no gráfico de y = f x , onde f é uma função que satisfaz f 0 = 0 .

  1. Existem algumas horas do dia que não podem ocorrer em tal configuração? Explique.
  2. Como é afetada sua resposta a a se f deve ser uma função invertível?
  3. Como são afetadas suas respostas a a e b se foi a ponta do ponteiro dos minutos que parou no gráfico de f ?

Passo 1

Ok esse enunciado é esquisito a beça, mas vamos desmembrar ele. Primeiro, note o seguinte

  • Relógio ta centrado na origem
  • As 3 horas está na direção do eixo x positivo

Usando essas configurações, podemos estabelecer esse sistema de coordenadas pro relógio:

A questão diz também que o ponteiro das horas caiu em cima de uma função f x que passa na origem. Ou seja, os pontos A e O abaixo são pontos que necessariamente fazem parte de f x :

Mas olha só o doido: não sabemos exatamente onde A é, mesmo sabendo que ele é um ponto da função. Por exemplo, podemos traçar uma função laranja que descreva o ocorrido

Quando a questão pergunta pra gente se existem algumas horas do dia que não podem ocorrer em tal configuração, o que ela quer saber na verdade é se é possível que o ponteiro continue sobre f x em outras horas. Nota a seguinte galera, como o ponteiro gira, ele descreve uma trajetória circular:

Portanto, a resposta da letra a é sim se conseguirmos pensar em uma função que não somente tenha f 0 = 0 como uma verdade, mas também que corte a circunferência verde pelo menos duas vezes. Oras, f x = x 2 é um bom exemplo de função que tem isso:

E tem outras funções também que são válidas! Teste f x = sin ⁡ x e f x = x 3 por exemplo!! Na verdade, nem precisa de uma lei de formação bonitinha, contanto que você trace uma curva que represente uma função corretamente e satisfaça as condições do enunciado, belezinha? Portanto a resposta da pergunta da letra a é sim!

Passo 2

Agora vamos por mais condições pra f x e ver se isso muda alguma coisa. A nossa função agora é invertível. Será que muda alguma coisa? Bem, para uma função ser invertível, a gente sabe que ela deve ser bijetora. Outra coisa importantíssima é: toda função estritamente crescente ou decrescente em seu domínio é bijetora. Em resumo, nossa função f x deve:

  • Conter 0,0
  • Ser estritamente crescente ou decrescente
  • Cortar a circunferência verde tracejada pelo menos duas vezes

Po galera, mesmo sem uma lei de formação bonitinha, não tem nada que impeça de uma função dessas existir! Por exemplo, f x = x 3 se encaixa nesse perfil!

Veja que a inversa de x 3 também poderia ser uma função de exemplo pra letra a em! No gráfico confirmamos que g é inversa de f pela simetria em relação ao eixo y = x .

Passo 3

E pra fechar galera, a letra c pergunta pra gente se alguma coisa mudaria se tudo tivesse acontecido com os ponteiros dos minutos. Bem, tudo que pensamos até aqui foi considerando “funções que cortem a circunferência tracejada verde”. Se o ponteiro fosse o dos minutos, a única diferença nas letras a e b seria que a circunferência verde e a preta coincidiriam. Pra letra a a imagem ficaria:

E pra b :

Portanto não, mudar o ponteiro não muda a resposta da letra a! Fechamos! Ufa

Resposta

  1. Para que o ponteiro das horas toque na função mais de uma vez ao girar, é necessário que a função f x seja capaz de cruzar com a circunferência que descreve a trajetória do ponteiro mais de uma vez. Existe uma variedade de funções que são capazes de fazer isso e conter o ponto 0,0 também.
  2. A resposta da letra a continua sendo sim se obrigarmos f x a ser uma função invertível
  3. A resposta da letra a continua sendo sim se o ponteiro originalmente sobre f x fosse outro
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função. g x = 1 - x 2
Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função. h x = 2s e nx , - π 2 ≤ x ≤ π 2
Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função. f x = x + 3
Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função. f x = 1 2 x 2 - 2
Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função. g x = 8 - 4 x