Enunciado

Enfocando conceitos

Um jogador de futebol chuta uma bola com uma velocidade inicial de 14   m / s e um ângulo θ com o plano horizontal (ver figura abaixo). A bola cai no chão a uma distância de 18   m depois do chute. Se a resistência do ar for desprezada, então a bola terá uma trajetória parabólica e o alcance horizontal R será dado por:

R = v 2 g sen ⁡ 2 θ

Onde v é a velocidade inicial da bola e g é a aceleração da gravidade. Usando g = 9,8   m / s 2   , aproxime dois valores de θ , até o grau mais próximo, segundo os quais a bola poderia ter sido chutada. Qual ângulo resultaria em um tempo menor de permanência no ar? Por quê?

Passo 1

Fala povo! Ó, essa questão deu muito blablabla no início hahaha. Que tal resumir ela? Temos uma imagem, uma fórmula e os comandos da questão:

Bem, já que a questão quer saber ângulos, porque não isolarmos esse θ ? Bora lá:

R = v 2 g sen ⁡ 2 θ

R g v 2 = sen ⁡ 2 θ

2 θ = arc sen ⁡ R g v 2

θ = 1 2   arc sen ⁡ R g v 2

Sendo, do enunciado:

v = 14   m / s

R = 18   m

g = 9,8   m / s 2

A fórmula fica:

θ = 1 2   arc sen ⁡ 18   m ∙ 9,8   m / s 2 14   m / s 2

θ = 1 2   arc sen ⁡ 0,9

Pra achar esse resultado, podemos usar a calculadora, um recurso gráfico ou mesmo uma ferramenta de planilhas. Aqui eu vou escolher o último, mas fica a seu critério, ok? Usando a função “=ASEN()” e a função “=GRAUS()” consigo montar a seguinte tabela:

Portanto um valor de θ que gera esse alcance é 32 0 . Agora, se olharmos bem para o círculo trigonométrico:

Vemos que nenhum outro ângulo no primeiro quadrante a r c o   e n t r e   0   e   π 2 produz o mesmo seno de valor 0,9 . Porém, pela simetria da mesma imagem, vemos que o ângulo 180 - θ , no segundo quadrante, possui sim o mesmo valor de seno!

Portanto outro ângulo possível pro chute dessa bola, que gere um alcance de 18   m , seria:

θ = 180 o - 32 o = 148 o

Um detalhe importantíssimo aqui no entanto é que chutar a bola a 148 o é exatamente a mesma coisa que chutar a 32 o só que pra trás.

Então, seja:

R θ = v 2 g sen ⁡ 2 θ

Teremos:

R 32 o = 18   m

R 148 o = - 18   m

Resumo da obra:

Considerando que o eixo positivo é da esquerda pra direita e que a abertura do ângulo de chute acontece no sentido anti-horário, a bola terá um alcance absoluto de 18   m se chutada a 32 o ou a 148 o .

Passo 2

Po galera, agora queremos saber de permanência no ar: qual ângulo geraria menor permanência? Bem, saca só, como estamos no planeta terra, a bola quando é chutada, está sujeita a aceleração da gravidade. E como toda boa aceleração, temos:

a = v ∆ t

Só que a gravidade só atua no eixo y , né não? Então aquela velocidade ali vai precisar ser decomposta. Seja:

Vamos ter que v y = v ∙ sin ⁡ θ . Então trocando a por g e usando só a componente y da velocidade, pra subida, temos: g = v y ∆ t s u b i d a

∆ t s u b i d a = v ∙ sin ⁡ θ g

Uma vez que a nossa bola volta ao solo, o valor a ser considerado como tempo total de trajeto é o dobro do tempo de subida! Assim, podemos escrever:

∆ t = 2 ∙ v ∙ sin ⁡ θ g

E olha só uma coisa louca: o tempo em função do ângulo é nada mais nada menos que uma função oscilatória. Veja que pra:

θ = 0 0 → sin ⁡ θ = 0 → ∆ t = 0    

θ = 90 0 → sin ⁡ θ = 1 → ∆ t = 2 v g    

Então pra 0 0 ≤ θ ≤ 90 0 a função seno é uma função estritamente crescente! Dá pra gente notar isso também ao olharmos para o círculo trigonométrico. Oras, se a gente aumenta o tempo total no ar quanto maior o ângulo que aplicamos, o menor tempo possível de permanência no ar vai ser θ = 0 0 , com tempo nulo. Resumo, se você passar a bola ao invés de isolar ela, ela fica menos tempo no ar hahaha

Resposta

Letra a:

Considerando que o eixo positivo é da esquerda pra direita e que a abertura do ângulo de chute acontece no sentido anti-horário, a bola terá um alcance absoluto de 18   m se chutada a 32 o ou a 148 o .

Letra b:

Seja, pelos cálculos:

∆ t = 2 ∙ v ∙ sin ⁡ θ g

Vemos que o tempo de permanência no ar ( ∆ t ) é mínimo se ele não for pro ar de início, uma vez que sin ⁡ θ é uma função estritamente crescente no intervalo 0 0 ≤ θ ≤ 90 0 de chute (no passo 1 , conversamos sobre como 90 0 ≤ θ ≤ 180 0 ser somente um chute igual a 0 0 ≤ θ ≤ 90 0 só que da esquerda pra direita).

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