Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

2 + e - x y   d x + 2 1 - x y d y = 0

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

2 + e - x y   d x + 2 1 - x y d y = 0

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Essa aqui tá mais naquele formato de equação separável, acho que é um bom palpite.

E se a gente fizer u = x y ? (essa fraçãozinha aparece em dois lugares, merece nossa atenção)

Passo 2

Bom, se u = x y , temos:

x = u y

E aí a gente deriva...

d x = u   d y + y   d u

Substituindo isso na nossa EDO...

2 + e - x y   d x + 2 1 - x y d y = 0

2 + e - u u   d y + y   d u + 2 1 - u d y = 0

2 u   d y + 2 y   d u + u e - u d y + y e - u d u + 2 d y - 2 u d y = 0

2 y   d u + u e - u d y + y e - u d u + 2   d y = 0

d y u e - u + 2 = d u - 2 y - y e - u

d y y = - 2 - e - u u e - u + 2   d u

Show! Chegamos a uma equação com variáveis já separadas. Só temos que resolver agora...

Passo 3

Vamos integrar os dois lados:

∫ d y y = ∫ - 2 - e - u u e - u + 2   d u

ln ⁡ y = - ln ⁡ | 2 e - u + u | + C

E como u = x y , temos:

ln ⁡ y + ln ⁡ | 2 e - x y + x y | = C

E terminamos por aqui😉

Resposta

ln ⁡ y + ln ⁡ | 2 e - x y + x y | = C

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Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x 4 y 2 y ' + x 3 y 3 = 2 x 3 - 3
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x e y y ' - 2 e y = x 2
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + y ' 2 + 1 = 0
Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. y ' ' + tg ⁡ x y ' = 0