Enunciado

Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

y ' + y ln ⁡ y = y e x

Passo 1

Fala aí, tudo beleza?

Olha, a gente tem que fazer uma substituição nessa EDO aqui:

y ' + y ln ⁡ y = y e x

Pra transformar ela em algo que a gente saiba resolver...

Um bom palpite aqui é que ela pode se transformar numa equação linear, mas pra isso a gente precisa que somente termos em função de x acompanhe os termos de y .

E se a gente fizer u = ln ⁡ y ?

Passo 2

Bom, derivando u = ln ⁡ y a gente tem:

d u d x = 1 y d y d x

Daí, temos:

d y d x = d u d x y

E aí substituindo isso na nossa equação temos:

y ' + y ln ⁡ y = y e x

d u d x y + y u = y e x

d u d x + u = e x

u ' + u = e x

E essa é uma equação linear, em u . Vamos resolvê-la!

Passo 3

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

u = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = 1

q x = e x

Substituindo, ficamos com:

u = e - ∫ 1   d x ∫ e ∫ 1   d x ⋅ e x   d x

u = e - x ∫ e x ⋅ e x   d x

u = 1 e x e 2 x 2 + C

u = e x 2 + C e - x  

E aí é só voltar para y ...

ln ⁡ y = e x 2 + C e - x  

E terminamos por aqui😉

Resposta

ln ⁡ y = e x 2 + C e - x  

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