Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 59
A equação 6 é uma fórmula para a derivada de uma função definida implicitamente por uma equação , sendo que é diferenciável e . Comprove que se tem derivadas contínuas de segunda ordem, então uma fórmula para a segunda derivada de é
Passo 1
Se tivermos uma função dada implicitamente pela equação , a equação 6 nos diz que
O que queremos fazer nessa questão é achar uma expressão para . Para isso, temos que
Usando a regra do quociente:
Passo 2
O que nós precisamos fazer é achar e . Para isso, lembre-se que e são função de e , e é função de . Desta forma, pela regra da cadeia:
Mas nós sabemos que
Assim,
Analogamente,
Passo 3
Substituindo essas expressões:
Assim,
Como as derivadas de segunda ordem de são contínuas, temos que . Assim, podemos juntar os termos do meio:
Essa é exatamente a relação que foi pedida no enunciado!
Resposta
Demonstração.