Enunciado

A equação 6 é uma fórmula para a derivada d y / d x de uma função definida implicitamente por uma equação F x , y = 0 , sendo que F é diferenciável e F y ≠ 0 . Comprove que se F tem derivadas contínuas de segunda ordem, então uma fórmula para a segunda derivada de y é

d 2 y d x 2 = - F x x F y 2 - 2 F x y F x F y + F y y F x 2 F y 3

Passo 1

Se tivermos uma função y = y ( x ) dada implicitamente pela equação F x , y = 0 , a equação 6 nos diz que

d y d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y = - F x F y

O que queremos fazer nessa questão é achar uma expressão para d 2 y / d x 2 . Para isso, temos que

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = - d d x F x F y

Usando a regra do quociente:

d 2 y d x 2 = - d d x F x ⋅ F y - F x d d x F y F y 2

Passo 2

O que nós precisamos fazer é achar d d x F x e d d x F y . Para isso, lembre-se que F x e F y são função de x e y , e y é função de x . Desta forma, pela regra da cadeia:

d d x F x = ∂ F x ∂ x + ∂ F x ∂ y ⋅ d y d x

d d x F y = ∂ F y ∂ x + ∂ F y ∂ y ⋅ d y d x

Mas nós sabemos que

d y d x = - F x F y

Assim,

d d x F x = F x x + F x y ⋅ - F x F y = F x x F y - F x y F x F y

Analogamente,

d d x F y = F y x + F y y ⋅ - F x F y = F y x F y - F y y F x F y

Passo 3

Substituindo essas expressões:

d 2 y d x 2 = - F x x F y - F x y F x F y F y - F x F y x F y - F y y F x F y F y 2

Assim,

d 2 y d x 2 = - F x x F y 2 - F x y F x F y - F y x F x F y + F y y F x 2 F y 3

Como as derivadas de segunda ordem de F são contínuas, temos que F x y = F y x . Assim, podemos juntar os termos do meio:

d 2 y d x 2 = - F x x F y 2 - 2 F x y F x F y + F y y F x 2 F y 3

Essa é exatamente a relação que foi pedida no enunciado!

Resposta

Demonstração.

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