1.

Seja

w = ∫ x y e t 2 d t

x = r s 4

y = r 4 s

Calcule

∂ w ∂ r         e       ∂ w ∂ s

Resolução
2.

Seja f : R → R contínua com f 3 = 4 . Seja

g x , y , z = ∫ 0 x 2 + y 2 + z ² f t   d t

Calcule

  1. ∂ g ∂ x ( 1,1 , 1 )
  2. ∂ g ∂ y 1,1 , 1
  3. ∂ g ∂ z 1,1 , 1
Resolução
3.

A imagem da curva

γ t = 2 t , t 2 , z t

Está contida no gráfico de z = f ( x , y ) .

Sabe-se que

f 2,1 = - 1

∂ f ∂ x 2,1 = 1

∂ f ∂ y 2,1 = - 1

Determine a equação da reta tangente a γ no ponto γ ( 1 ) .

Resolução
4.

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C ¹ e

f 1,3 = - 1

∂ f ∂ x 1,3 = 4

∂ f ∂ y 1,3 = - 3

Sabe-se que a curva de equação

σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t

Está contida no gráfico da função z = f ( x , y ) .

  1. Calcule d z d t ( t )
  2. Ache uma equação da reta tangente a curva σ ( t ) no ponto σ ( 1 )
  3. Mostre que a reta encontrada no item b) está contida no plano tangente ao gráfico da função z = f ( x , y ) em ( 1,3 , - 1 )
Resolução
5.

Dada a função

z = ∫ x x 2 + y 2 e t d t

Calcule ∂ z ∂ x 1,2 e ∂ z ∂ y 1,2

Resolução
6.

f ( t ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que

g t , f t = 0

Para todo t .

Suponha que

f 0 = 1

∂ g ∂ x 0,1 = 2

∂ g ∂ y 0,1 = 4

Determine a equação da reta tangente a γ t = t , f t no ponto γ ( 0 ) .

Resolução
7.

Seja

f x , y = ∫ x ² y ² e - t 2 d t

Calcule ∂ f ∂ x ( x , y ) e ∂ f ∂ y ( x , y ) .

Resolução
8.

Seja S a superfície de equação x 2 - 2 x y - 2 y + z 2 = 1 e seja γ :   R → R 3 uma curva diferenciável cuja imagem está contida em S , tal que γ 2 = 2 ,   2 ,   3 e γ ' 2 ≠ 0 ,   0 ,   0 .

Considere ainda uma função g : R 3 → R de classe C 1 com ∇ g 2 ,   2 ,   3 = 4 ,   0 ,   - 4 .

Sabendo que t 0 = 2 é ponto de mínimo da função ϕ t = g γ t , determine uma equação para a reta tangente à trajetória (imagem) de γ em γ 2 .

Resolução
11.

Seja

w = ∫ x y e t 2 d t

x = r s 4

y = r 4 s

Calcule

∂ w ∂ r         e       ∂ w ∂ s

Resolução
12.

Dada a função

z = ∫ x x 2 + y 2 e t d t

Calcule ∂ z ∂ x 1,2 e ∂ z ∂ y 1,2

Resolução
13.

Considere a função f x , y = ∫ x y e t 2 d t . Sabendo que x = x r , s = r s 4 e que y = y r , s = r 4 s , calcule ∂ f / ∂ r ∂ f / ∂ s .

Resolução

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