Enunciado

Se f é homogênea de grau n , mostre que

f_x (t x , t y) = t^(n - 1) f_x ( x , y )

Passo 1

Partindo da igualdade

f (t x , t y) = t^n f ( x , y )

Vamos derivar parcialmente os dois lados, em relação a x , olhando primeiramente para o lado direito

(del)/(del x) (t^n f (x , y))

Como t^n não varia de acordo com o valor de x , podemos tirar da derivada

= t^n (del)/(del x) (f (x , y)) = t^n f_x ( x , y )

Passo 2

Olhando agora para o outro lado da igualdade

(del)/(del x) (f (t x , t y))

Vamos usar a substituição u = t x e v = t y

(del)/(del x) (f (t x , t y)) = (del)/(del x) (f (u , v))

= (del f)/(del u) (del u)/(del x) + (del f)/(del v) (del v)/(del x)

Como v = t y não depende de x , (del v)/(del x) = 0 , logo

= (del f)/(del u) (del u)/(del x) = (del f)/(del u) t = t (del f)/(del ( t x )) = t f_x ( t x , t y )

Passo 3

Voltando a igualdade

f (t x , t y) = t^n f ( x , y )

(del)/(del x) (f (t x , t y)) = (del)/(del x) (t^n f (x , y))

t f_x ( t x , t y ) = t^n f_x ( x , y )

Dividindo por t

f_x ( t x , t y ) = t^(n - 1) f_x ( x , y )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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