Enunciado

Uma equação semelhante a do problema 12 é:

x . d 2 y d x 2 = v 1 v 2 1 + d y d x 2

Neste caso, a equação surge no estudo da forma do caminho que um perseguidor, correndo a uma velocidade v 2 , deve percorrer para interceptar uma pressa correndo a uma velocidade v 1 . Use a mesma substituição do problema 12 e a condição inicial y 1 = 0 , y ' 1 = 0 para resolver a equação. Considere os dois casos v 1 = v 2 e v 1 ≠ v 2 .

Passo 1

Aqui o que temos que fazer é, simplesmente, resolver a equação diferencial dada, pessoal. A equação é:

x . d 2 y d x 2 = v 1 v 2 1 + d y d x 2

Fazendo a substituição p = d y d x , teremos:

x . d p d x = v 1 v 2 1 + p 2

Como v 1 v 2 é constante, então vamos chamar de k , beleza? Então teremos:

d p d x = k x 1 + p 2

d p 1 + p 2 = k x d x

Ok, simplificamos tudo! Sendo assim, só falta integrar isso aí e resolver, então vamo que vamo!

Passo 2

Integrando ambos os lados, teremos:

∫ d p 1 + p 2 = k ∫ d x x

O bom é que para a integral do lado esquerdo temos um resultado tabelado e já conhecido, que é:

∫ d p 1 + p 2 = ln ⁡ p + 1 + p 2 + c 1

E a integral do lado direito é bem tranquila, saca só:

k ∫ d x x = k . ln ⁡ x + c 2

Unindo os resultados:

ln ⁡ p + 1 + p 2 = ln ⁡ x k + c

Simplificando:

p + 1 + p 2 = x k + c

Show!

Passo 3

Agora que resolvemos nossa equação diferencial vamos aplicar a condição inicial p 1 = 0 , saca só:

0 + 1 = 1 + c

c = 0

Substituindo:

p + 1 + p 2 = x k

Se simplificarmos isso, teremos:

p = 1 2 x k - x - k

Voltando para y , teremos:

d y d x = 1 2 x k - x - k

Como k = v 1 v 2 , teremos:

d y d x = 1 2 x v 1 v 2 - x - v 1 v 2

E essa é a nossa solução, ok? Agora vamos analisar os casos!

Passo 4

Para v 1 = v 2 , temos:

d y d x = 1 2 x - 1 x

E então:

d y = 1 2 x d x - 1 2 . 1 x d x

Integrando, teremos:

∫ d y = 1 2 ∫ x d x - 1 2 ∫ d x x

Que nos dá como resultado:

y = 1 4 x 2 - 1 2 ln ⁡ x + c

Aplicando o ponto y 1 = 0 , teremos:

0 = 1 4 + c

∴ c = - 1 4

Então para v 1 = v 2 temos como resultado:

y = 1 4 x 2 - 1 2 ln ⁡ x - 1 4

Top, top!

Passo 5

Para v 1 ≠ v 2 , temos:

d y d x = 1 2 x v 1 v 2 - x - v 1 v 2

d y = 1 2 ∫ x v 1 v 2 d x - 1 2 ∫ x - v 1 v 2 d x

O que nos dá como resultado:

y = 1 2 x v 1 v 2 + 1 v 1 v 2 + 1 - x 1 - v 1 v 2 1 - v 1 v 2 + c

Aplicando o ponto y 1 = 0 , teremos:

0 = 1 2 v 2 v 1 + v 2 - 1 2 v 2 v 2 - v 1 + c

∴ c = v 1 v 2 v 2 2 - v 1 2

Então para v 1 ≠ v 2 temos como resultado:

y = 1 2 x v 1 v 2 + 1 v 1 v 2 + 1 - x 1 - v 1 v 2 1 - v 1 v 2 + v 1 v 2 v 2 2 - v 1 2

E está aí nossa resolução, galera! 😊

Resposta

Para v 1 = v 2 , temos: y = 1 4 x 2 - 1 2 ln ⁡ x - 1 4

Para v 1 ≠ v 2 , temos: y = 1 2 x v 1 v 2 + 1 v 1 v 2 + 1 - x 1 - v 1 v 2 1 - v 1 v 2 + v 1 v 2 v 2 2 - v 1 2

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