Enunciado

Obtenha uma solução para a equação:

d X d t = k α - X β - X

Que governa as reações de segunda ordem nos dois casos: α ≠ β e α = β .

Passo 1

Então galera, se separarmos as variáveis aqui, teremos:

d X α - X β - X = k d t

Para facilitar, vamos chamar α = a e β = b , ok? Show! Utilizando frações parciais, teremos:

1 a - X b - X = A a - X + B b - x

Disso nós tiramos que:

A b - x + B a - x = 1

A b - A x + B a - B x = 1

Criando um sistema, teremos:

A b + B a = 1 A = - B

Substituindo a segunda na primeira, teremos:

- B b + B a = 1

B a - b = 1

B = 1 a - b

E então:

A = - 1 a - b

Voltando para a nossa divisão, teremos:

d X α - X β - X = k d t

1 a - b . 1 a - X d X - 1 a - b . 1 b - X = k d t

Então vamos integrar isso aí e resolver!

Passo 2

Integrando ambos os lados:

1 a - b ∫ d X a - X - 1 a - b ∫ d X b - X = k ∫ d t

O resultado disso tudo será:

- 1 a - b ln ⁡ a - X + 1 a - b ln ⁡ b - X = k t + c

Simplificando, teremos:

X - b X - a = c e a - b k t

Para X 0 = 0 , teremos:

b a = c

E então temos que:

X t = a b - a b e a - b k t b - a e a - b k t

Show!

Passo 3

Agora para a = b , teremos:

1 a - X 2 d X = k t

Integrando:

∫ d X a - X 2 = k ∫ d t

E isso nos dá como resultado:

- ln ⁡ a - X = k t + c

∴ X t = a - c a e k t

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

Para a ≠ b temos: X t = a b - a b e a - b k t b - a e a - b k t

Para a = b temos: X t = a - c a e k t

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