Enunciado

Em uma reação química de terceira ordem, a quantidade de gramas X de um composto obtido pela combinação de três outros compostos é governada pela equação:

d X d t = k α - X β - X γ - X

Resolva essa equação supondo α ≠ β ≠ γ .

Passo 1

Então galera, para facilitar nosso problema vamos chamar as variáveis assim:

α = a

β = b

γ = c

Que são as constantes que estamos acostumados a trabalhar, tudo bem? Show! Substituindo, teremos:

d X a - X b - X c - X = k d t

Integrando, teremos:

∫ d X a - X b - X c - X = k ∫ d t

Passo 2

Antes de integrarmos de fato, precisamos utilizar frações parciais para facilitarmos esse trem todo aí! Sendo assim, temos que:

1 a - X b - X c - X = A a - X + B b - X + C c - X

E disso tiramos que:

A = 1 b - a c - a

B = 1 a - b c - b

C = 1 a - c b - c

Substituindo, teremos:

1 b - a c - a . 1 a - X + 1 a - b c - b . 1 b - X + 1 a - c b - c . 1 c - X

= 1 a - X b - X c - X

Substituindo na integral, teremos:

1 b - a c - a ∫ 1 a - X d X + 1 a - b c - b ∫ 1 b - X d X

+ 1 a - c b - c ∫ 1 c - X d X = k ∫ d t

Show!

Passo 3

Resolvendo essas integrais, teremos o seguinte resultado:

- 1 b - a c - a ln ⁡ a - X - 1 a - b c - b ln ⁡ b - X - 1 a - c b - c ln ⁡ c - X = k t + c

E poderíamos muito bem simplificar tudo isso, mas o trabalho que daria é imensurável! Sendo assim, fiquemos com esse resultado1 😉

Resposta

- 1 b - a c - a ln ⁡ a - X - 1 a - b c - b ln ⁡ b - X - 1 a - c b - c ln ⁡ c - X = k t + c

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