Enunciado

Equações sem a Variável Dependente. Para uma equação deferencial de segunda orgem da forma y ' ' = f t , y ' , a substituição v = y ' , v ' = y ' ' leva a uma equação de primeira ordem da forma v ' = f ( t , v ) . Se essa equação puder ser resolvida para v , então y pode ser obtida integrando-se d y d t = v . Ao resolver a equação de primeira ordem para v obtém-se uma constante arbitrária, e uma segunda constante é obtida na integração para encontrar y . Em cada um dos problemas de 36 a 41, use essa substituição para resolver a equação dada.

t ⋅ y ' ' + y ' = 1 ,     t > 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando v = y ' e v ' = y ' ' , temos que nossa equação fica como

t ⋅ v ' + v = 1

Notamos que é possível escrever a equação como

t ⋅ v ' = 1

d d t t ⋅ v = 1

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que

t ⋅ v = t + k 1

Utilizando a transformação novamente, temos que

d y d t = y ' = v = 1 + k 1 t

Integrando de ambos os lados novamente, chegamos que

y = t + k 1 ⋅ ln ⁡ t + k 2

Sendo essa nossa solução para equação.

Resposta

y = t + k 1 ⋅ ln ⁡ t + k 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

27 . (a) Resolva a equação de Bernoulli quando n = 0 e quando n = 1.(b) Mostre que, se n ≠ 0 e n ≠ 1, então a substituição υ = y1–n reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Esse método de so
Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)30. y '=∊ y–σ y 3 ,∊0eσ0 ∊ ∊ . Essa equação aparece no es
Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)28. t 2 y '+2 t y–y 3=0 ,t0
Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.2. d y d x - y = e x y 2
Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.4. x . d y d x - 1 + x y = x y 2