Enunciado

Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.

6. 3 1 + x 2 . d y d x = 2 x y y 3 - 1  

Passo 1

Então pessoal, esses exercícios sobre equação de Bernoulli possuem um método bem tranquilo de resolução, basta que tenhamos atenção com algumas coisinhas! Quando utilizamos o método? Sempre que tivermos uma equação diferencial do tipo:

d y d x + P . y = Q . y n

No qual n ≠ 0   e   n ≠ 1 , aplicaremos esse método. Em outras palavras, o que queremos fazer é transformar uma equação diferencial que não é linear, em uma equação diferencial LINEAR, conforme estudamos na seção passada.

O que vamos fazer é realizar uma substituição do tipo:

w = y 1 - n

Depois derivar e substituir na equação diferencial original e resolver para w , tudo bem? Show!

Ah! Vale ressaltar que depois que linearizarmos a equação diferencial, devemos utilizar a solução geral que já conhecemos, que é:

w = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais.

Por fora: po, tranquilão!

Por dentro:

Mas vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

3 1 + x 2 . d y d x = 2 x y y 3 - 1

Como queremos escrever a equação no formato:

d y d x + P . y = Q . y n

Teremos:

3 1 + x 2 . d y d x = 2 x y 4 - 2 x y

3 1 + x 2 . d y d x + 2 x y = 2 x y 4

d y d x + 2 x 3 1 + x 2 y = 2 x 3 1 + x 2 y 4

Ok, missão cumprida! Agora fazendo a substituição:

w = y 1 - n = y 1 - 4

w = y - 3 ⇒ y = w - 1 3

Derivando em relação a x , obteremos:

d y d x = - 1 3 w - 4 3 . d w d x

Top, top!

Passo 3

Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:

d y d x + 2 x 3 1 + x 2 y = 2 x 3 1 + x 2 y 4

- 1 3 w - 4 3 . d w d x + 2 x 3 1 + x 2 w - 1 3 = 2 x 3 1 + x 2 w - 4 3

Simplificando, teremos:

- 1 3 . d w d x + 2 x 3 1 + x 2 w = 2 x 3 1 + x 2

d w d x - 2 x 1 + x 2 w = - 2 x 1 + x 2

E então tiramos que:

P x = - 2 x 1 + x 2

Q x = - 2 x 1 + x 2

Top, top!

Passo 4

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

w = e ∫ 2 x 1 + x 2 d x . - ∫ e - ∫ 2 x 1 + x 2 d x . 2 x 1 + x 2 d x + c

Para a integral do expoente, teremos:

∫ 2 x 1 + x 2 d x = 2 ∫ x x 2 + 1 d x

Para resolver essa integral precisamos fazer uma substituição simples, saca só:

u = x 2 + 1

d u = 2 x d x

Substituindo:

∫ d u u = ln ⁡ u

Voltando para x :

∫ 2 x 1 + x 2 d x = ln ⁡ x 2 + 1

Substituindo na solução:

w = e ln ⁡ x 2 + 1 . - ∫ e - ln ⁡ x 2 + 1 . 2 x 1 + x 2 d x + c

Simplificando:

w = x 2 + 1 . - ∫ 1 1 + x 2 . 2 x 1 + x 2 d x + c

w = x 2 + 1 . - ∫ 2 x 1 + x 2 2 d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Bora que bora!

Passo 5

A integral que temos é:

∫ 2 x 1 + x 2 2 d x

Para resolver essa integral precisamos fazer uma substituição simples, saca só:

u = x 2 + 1

d u = 2 x d x

Substituindo:

∫ d u u 2 = ∫ u - 2 d u

Logo, teremos:

∫ u - 2 d u = - 1 u

Voltando para x :

∫ 2 x 1 + x 2 2 d x = - 1 x 2 + 1

Substituindo na solução geral:

w = x 2 + 1 . 1 x 2 + 1 + c

∴ w = 1 + c x 2 + 1

Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 6

O resultado que encontramos está como w x e queremos o resultado como y x , certo? Lá no passo 2 a substituição que fizemos foi:

w = y - 3 ⇒ y = w - 1 3

Voltando para a variável y , teremos:

w = 1 + c x 2 + 1

y - 3 = 1 + c x 2 + 1

∴ y = 1 + c x 2 + 1 - 1 3

E esse é nosso resultado! 😉

Resposta

y = 1 + c x 2 + 1 - 1 3

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