Enunciado

Nos problemas 1-6, resolva a equação de Bernoulli dada.

1. x . d y d x + y = 1 y 2

Passo 1

Então pessoal, esses exercícios sobre equação de Bernoulli possuem um método bem tranquilo de resolução, basta que tenhamos atenção com algumas coisinhas! Quando utilizamos o método? Sempre que tivermos uma equação diferencial do tipo:

d y d x + P . y = Q . y n

No qual n ≠ 0   e   n ≠ 1 , aplicaremos esse método. Em outras palavras, o que queremos fazer é transformar uma equação diferencial que não é linear, em uma equação diferencial LINEAR, conforme estudamos na seção passada.

O que vamos fazer é realizar uma substituição do tipo:

w = y 1 - n

Depois derivar e substituir na equação diferencial original e resolver para w , tudo bem? Show!

Ah! Vale ressaltar que depois que linearizarmos a equação diferencial, devemos utilizar a solução geral que já conhecemos, que é:

w = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é P e quem é Q e depois resolver essas integrais.

Por fora: po, tranquilão!

Por dentro:

Mas vamo que vamo!

Passo 2

A equação que nos foi dada é:

x . d y d x + y = 1 y 2

Como queremos escrever a equação no formato:

d y d x + P . y = Q . y n

Teremos:

d y d x + 1 x y = 1 x y - 2

Ok, missão cumprida! Agora fazendo a substituição:

w = y 1 - n = y 1 - - 2

w = y 3 ⇒ y = w 1 3

Derivando em relação a x , obteremos:

d y d x = 1 3 w - 2 3 . d w d z

Top, top!

Passo 3

Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:

d y d x + 1 x y = 1 x y - 2

1 3 w - 2 3 . d w d z + 1 x w 1 3 = 1 x w - 2 3

Simplificando, teremos:

1 3 . d w d z + 1 x w = 1 x

d w d z + 3 x w = 3 x

E então tiramos que:

P x = 3 x

Q x = 3 x

Passo 4

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

w = e - ∫ 3 x d x . ∫ e ∫ 3 x d x . 3 x d x + c

w = e - ∫ 3 x d x . 3 ∫ e ∫ 3 x d x . 1 x d x + c

Para a integral do expoente, teremos:

∫ 3 x d x = 3 ∫ d x x = 3 ln ⁡ x

Substituindo:

w = e - 3 ln ⁡ x . 3 ∫ e 3 ln ⁡ x . 1 x d x + c

Simplificando:

w = x - 3 . 3 ∫ x 3 . 1 x d x + c

w = x - 3 . 3 ∫ x ² d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ x 2 d x = x 3 3

Substituindo:

w = x - 3 . 3 . x 3 3 + c

∴ w = 1 + c x 3

Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!

Passo 5

O resultado que encontramos está como w x e queremos o resultado como y x , certo? Lá no passo 2 a substituição que fizemos foi:

w = y 3 ⇒ y = w 1 3

Voltando para a variável y , teremos:

w = 1 + c x 3

y 3 = 1 + c x 3

∴ y = 1 + c x 3 1 3

E esse é nosso resultado! 😉

Resposta

y = 1 + c x 3 1 3

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